Renote cours théorie du signal
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@ -46,188 +46,213 @@
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\section{Classification des signaux}
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\subsection{Déterministe / aléatoire}
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\subsection{Déterministe vs.\ Aléatoire}
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\begin{itemize}
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\subsubsection{Déterministe}
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\item \textbf{Déterministe} ---
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Décrit en par une fonction mathématique $x(t)$.
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Il est donc \emph{prédictif}~: sa valeur est connue pour toute valeur de $t$.
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Décrit par une fonction mathématique $x(t)$.
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Il est donc \emph{prédictif}~: sa valeur est connue pour toute valeur de $t$.
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\item \textbf{Aléatoire} ---
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Décrit par des propriétés statistiques (probabilité, espérance mathématique, variande\ldots).
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Il n'est donc pas \emph{prédictif}~: on ne peut pas connaître sa valeur à un instant $t$.
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\subsubsection{Aléatoire}
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\end{itemize}
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Décrit par des propriétés statistiques (probabilité, espérance mathématique, variance\ldots).
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||||
Il n'est donc pas \emph{prédictif}~: on ne peut pas connaître sa valeur à un instant $t$.
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\subsection{Puissance moyenne finie / énergie finie}
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\subsection{Puissance moyenne finie vs.\ Énergie finie}
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\begin{itemize}
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\subsubsection{Signaux à énergie finie}
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\item \textbf{Signaux à énergie finie}
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\begin{equation*}
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E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t < \infty
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\end{equation*}
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$E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t < \infty$
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Ils sont à \emph{puissance moyenne nulle}.
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On y trouve les signaux continus à \emph{support borné}.
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||||
Ils sont à \emph{puissance moyenne nulle}.
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||||
On y trouve les signaux continus à \emph{support borné}.
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\subsubsection{Signaux à puissance moyenne finie}
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\item \textbf{Signaux à puissance moyenne finie}
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\begin{equation*}
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P = \lim\limits_{T_0 \to \infty} \int_{-T_0/2}^{+T_0/2} |x(t)|^2 \dif t\text{, où $T_0$ est la période}
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||||
\end{equation*}
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||||
$P = \lim\limits_{T_0 \to \infty} \int_{-T_0/2}^{+T_0/2} |x(t)|^2 \dif t$, où $T_0$ est la période.
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Ils sont à \emph{énergie infinie}.
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||||
On y trouve les signaux périodiques.
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||||
Les calculs se font sur une période.
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||||
Ils sont à \emph{énergie infinie}.
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||||
On y trouve les signaux périodiques.
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||||
Les calculs se font sur une période.
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\subsection{Analogique vs.\ Discret (échantillonné, quantifié, numérique)}
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\end{itemize}
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\subsubsection{Analogique (continu)}
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\subsection{Analogique / discret (échantillonné, quantifié, numérique)}
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Un signal analogique est continu.
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||||
Son évolution est décrite par la variable continue $t \in \mathbb{R}$.
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\begin{itemize}
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Signal réel $\implies x(t) \in \mathbb{R}$ \\
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Signal complexe $\implies x(t) \in \mathbb{C}$
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\item \textbf{Analogique --- Continu}
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\subsubsection{Discret}
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||||
Un signal analogique est continu.
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||||
Son évolution est décrite par la variable continue $t \in \mathbb{R}$.
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||||
Son évolution est décrite par une variable discrète $n \in \mathbb{Z}$.
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||||
Cette variable discrète est appelée \emph{échantillon}.
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||||
\item \textbf{Discret}
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\begin{tabular}{l|ll}
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||||
\toprule
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||||
$A \; \backslash \; t$ & continu & discret \\
|
||||
\midrule
|
||||
continu & analogique & échantillonné \\
|
||||
discret & quantifié & numérique \\
|
||||
\bottomrule
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||||
\end{tabular}
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||||
Son évolution est décrite par une variable discrète $n \in \mathbb{Z}$.
|
||||
Cette variable discrète est appelée \emph{échantillon}.
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||||
Un signal \emph{échantillonné} est discret en \emph{temps}.
|
||||
Un signal \emph{quantifié} est discret en \emph{amplitude}.
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||||
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||||
\end{itemize}
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||||
En réalité le signal quantifié n'existe pas (il ne peut être que continu par morceaux dans ce cas).
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\begin{tabular}{l|ll}
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||||
\toprule
|
||||
A / t & continu & discret \\
|
||||
\midrule
|
||||
continu & analogique & échantillonné \\
|
||||
discret & quantifié & numérique \\
|
||||
\bottomrule
|
||||
\end{tabular}
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\subsection{Signaux continus usuels}
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||||
Un signal \emph{échantillonné} est discret en \emph{temps}.
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||||
Un signal \emph{quantifié} est discret en \emph{amplitude}.
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\subsubsection{Échelon unitaire ou Heaviside}
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||||
En réalité le signal quantifié n'existe pas (il ne peut être que continu par morceaux dans ce cas).
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\begin{align*}
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||||
u(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
1 &\forall \, t \geq 0 \\
|
||||
0 &\forall \, t < 0 \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
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||||
\end{align*}
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||||
\subsubsection{Signaux continus usuels}
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||||
C'est un signal \emph{causal} (nul pour tout $t < 0$).
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||||
Il n'est pas à support borné, il n'est pas périodique.
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||||
Il n'est donc ni à \emph{puissance moyenne finie}, ni à \emph{énergie finie}.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\subsubsection{Signal porte ou signal rectangle}
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||||
\item \textbf{Échelon unitaire} ou Heaviside
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||||
\begin{align*}
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||||
u(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
1 \,\forall \, t \geq 0 \\
|
||||
0 \,\forall \, t < 0 \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
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||||
\begin{align*}
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||||
x(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
A &\text{si } t \in [T_1;T_2] \\
|
||||
0 &\text{sinon} \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
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||||
C'est un signal \emph{causal} (nul pour tout $t < 0$).
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||||
Il n'est pas à support borné, il n'est pas périodique.
|
||||
Il n'est ni à puissance moyenne finie, ni à énergie finie.
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||||
Il est à \emph{support borné}, donc il est à \emph{énergie finie}.
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||||
\item \textbf{Signal porte} ou signal rectangle
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||||
\begin{align*}
|
||||
x(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
A \text{ si } t \in [T_1;T_2] \\
|
||||
0 \text{ sinon} \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
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||||
\subsubsection{Exponentielle amortie}
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||||
Il est à \emph{support borné} et à \emph{énergie finie}.
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||||
\begin{align*}
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||||
x(t) = e^{-\alpha|t|} \quad \forall \, t \in \mathbb{R}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item \textbf{Exponentielle amortie}
|
||||
\begin{align*}
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||||
x(t) = e^{-\alpha|t|} \quad \forall t \in \mathbb{R}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Il faut que $\alpha$ soit positif (sinon $x(t)$ diverge).
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||||
|
||||
Il faut que $\alpha$ soit positif (sinon $x(t)$ diverge).
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||||
\subsubsection{Exponentielle amortie et causale}
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||||
\item \textbf{Exponentielle amortie et causale}
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||||
\begin{align*}
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||||
x(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
e^{-\alpha t} \forall t \geq 0 \\
|
||||
0 \forall t < 0 \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
e^{-\alpha t} &\forall \, t \geq 0 \\
|
||||
0 &\forall \, t < 0 \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item \textbf{Signal carré} de \emph{rapport cyclique} $r$
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||||
\begin{align*}
|
||||
x(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
0 \forall t \in [0; (1 - r)T_0] \\
|
||||
A \forall t \in [] \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\subsubsection{Signal carré de \emph{rapport cyclique} $r$}
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||||
\item \textbf{Signal sinusoïdal}
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||||
$\cos(2\pi f_0 t) = \sin(2\pi f_0 t + \frac{\pi}{2})$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
0 &\forall \, t \in [0; (1 - r)T_0] \\
|
||||
A &\forall \, t \in [(1 - r)T_0; T_0] \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Il y a un \emph{déphasage} $\varphi$ constant de $\frac{\pi}{2}$.
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||||
C'est un signal \emph{$T_0$-périodique}.
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||||
Sa puissance moyenne est donc finie~:
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||||
\begin{equation*}
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||||
P = \int_{(1-r)T_0}^{T_0} A^2 \dif t = A^2 r
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\varphi = 2\pi\frac{\Delta t}{T_0} [\text{rad}]
|
||||
&\varphi = 360\frac{\Delta t}{T_0} [\text{degré}]
|
||||
\end{align*}
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||||
\subsubsection{Signal sinusoïdal}
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||||
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||||
Rappels~:
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||||
\begin{equation*}
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||||
\cos(2\pi f_0 t) = \sin(2\pi f_0 t + \frac{\pi}{2})
|
||||
\end{equation*}
|
||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
Il y a un \emph{déphasage} $\varphi$ constant de $\frac{\pi}{2}$.
|
||||
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||||
\item Formule d'Euler~:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2} \\
|
||||
\sin(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2j} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\varphi = 2\pi\frac{\Delta t}{T_0} [\text{rad}]
|
||||
&\varphi = 360\frac{\Delta t}{T_0} [\text{degré}]
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item Parité~:
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||||
\paragraph{Rappels}
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||||
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||||
$x$ est paire si $x(-t) = x(t)$ \\
|
||||
$x$ est impaire si $x(-t) = -x(t)$ \\
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||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Formule d'Euler~:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2} \\
|
||||
\sin(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2j} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item \textbf{Sinus cardinal}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mathrm{sinc}(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
... \\
|
||||
... \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Parité~:
|
||||
|
||||
\end{itemize}
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||||
$x$ est paire si $x(-t) = x(t)$ \\
|
||||
$x$ est impaire si $x(-t) = -x(t)$ \\
|
||||
La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire.
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||||
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||||
\subsubsection{Le bruit, signal \emph{aléatoire}}
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\end{itemize}
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||||
\paragraph{Rapport Signal sur Bruit (RSB)}
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\subsubsection{Sinus cardinal}
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||||
Critère qui permet de quantifier le signal par rapport au bruit présent.
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||||
\begin{equation*}
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||||
\text{RSB} = \frac{P_S}{P_B}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mathrm{sinc}(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
\frac{\sin(\pi t)}{\pi t} &\text{si } t \neq 0 \\
|
||||
1 &\text{si } t = 0 \\
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
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||||
\subsection{Signaux élémentaires}
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Son énergie est $E = 1$.
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||||
\subsection{Le bruit, signal \emph{aléatoire}}
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Le bruit est tout signal qui perturbe l'information.
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Attention~: ce qui est une information pour un récepteur A peut être vu comme du bruit pour un récepteur B.
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||||
\subsubsection{Rapport Signal sur Bruit (RSB)}
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||||
Critère qui permet de quantifier le signal par rapport au bruit présent.
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||||
\begin{equation*}
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||||
\text{RSB} = \frac{P_S}{P_B}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
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||||
$P_S$ est la puissance du signal, $P_B$ la puissance du bruit.
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||||
Cette quantité peut être déterminée en \emph{dB} (décibel)~:
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||||
\begin{equation*}
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||||
RSB_{dB} = 10\log_{10}(RSB)
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||||
\end{equation*}
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||||
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||||
Le bruit peut être \emph{stationnaire}~: ses propriétés statistiques ne varient pas au cours du temps.
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||||
Ou \emph{non stationnaire}~: ses propriétés statistiques varient au cours du temps.
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||||
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||||
\subsection{Impulsion ou distribution de Dirac, $\delta$}
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||||
Ce n'est pas un signal réel.
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||||
C'est un objet mathématique qui sert à modéliser certains phénnomènes.
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||||
C'est un objet mathématique qui sert à modéliser certains phénomènes.
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||||
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||||
Il peut être vu comme la limite de plusieurs signaux porte $\Pi_{\epsilon}(t)$, de largeur $\epsilon \rightarrow 0$ et d'amplitude $\frac{1}{\epsilon}$.
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||||
\begin{align*}
|
||||
\delta(t) = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \sum \epsilon^{-1} \Pi_{\epsilon}(t) \\ \\
|
||||
\delta(t) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
|
|
@ -238,52 +263,65 @@
|
|||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Propriétés~:
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||||
\begin{align*}
|
||||
&\int_{\mathbb{R}} \delta(t) \dif t = 1
|
||||
\quad\text{peut être vu comme la dérivée de l'échelon unitaire} \\
|
||||
&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t) \dif t = x(0) \\
|
||||
&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t - t_0) \dif t = x(t_0) \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\int_{\mathbb{R}} \delta(t) \dif t = 1
|
||||
\quad\text{peut être vu comme la dérivée de l'échelon unitaire} \\
|
||||
&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t) \dif t = x(0) \\
|
||||
&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t - t_0) \dif t = x(t_0) \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\section{Analyse fréquentielle}
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||||
|
||||
\subsection{Introduction}
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||||
|
||||
Le \emph{spectre} est la représentation graphique du contenu fréquentiel d'un signal.
|
||||
Il permet d'étudier les composantes \emph{fréquentielles} du signal à partir d'une certaine fonction de variable $f$, en Hz.
|
||||
|
||||
L'analyse de Fourier permet de déterminer la fonction du signal temporel dans le domaine fréquentiel.
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
x(t) \rightarrow X(f)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
$|X(f)|^2$ représente la \emph{Densité Spectrale}, notée $S_x(f)$.
|
||||
|
||||
\subsection{Décomposition en Série de Fourier (DSF)}
|
||||
|
||||
Tout signal $x:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $T_0$-périodique, continu ou continu par morceaux, intégrable une fois dans $\mathbb{R}$ (conditions de Dirichlet), peut se décomposer en une somme de sinus et de cosinus.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
T_0 &= \frac{1}{f_0} \\
|
||||
\omega_0 &= 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T_0}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Forme réelle}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\
|
||||
x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
|
||||
x(t) &= \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\
|
||||
&= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de Fourier réels
|
||||
|
||||
\item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation fondamentale de $x(t)$
|
||||
% TODO: finish
|
||||
\item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation \emph{fondamentale} de $x(t)$
|
||||
|
||||
\item $n\omega_0, \; \forall \, n > 1$ sont les pulsations \emph{harmoniques} de $x(t)$
|
||||
|
||||
\item $\sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]$ converge
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Expression des coefficients de Fourier réels~:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} \cos(n\omega_0 t) \dif t \\
|
||||
a_n = \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \cos(n\omega_0 t) \dif t \\
|
||||
b_n = \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \sin(n\omega_0 t) \dif t
|
||||
a_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \dif t
|
||||
\quad \text{représente la valeur moyenne du signal} \\
|
||||
a_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \cos(n\omega_0 t) \dif t, \quad n \geq 1 \\
|
||||
b_n &= \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \sin(n\omega_0 t) \dif t, \quad n \geq 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Forme directe (complexe)}
|
||||
|
||||
À savoir~: $e^{j\theta} = \cos(\theta) + \sin(j\theta)$
|
||||
À savoir~: $e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
%TODO: remplace par la bonne formule
|
||||
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
|
||||
|
|
@ -294,16 +332,66 @@
|
|||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item $c_n$ et $c_{-n}$ sont les coefficients de Fourier complexes
|
||||
% TODO: finish
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\item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation \emph{fondamentale} de $x(t)$
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\item $n\omega_0, \; \forall \, n > 1$ sont les pulsations \emph{harmoniques} de $x(t)$
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\item $\sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}]$ converge
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\end{itemize}
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Expression des coefficients de Fourier complexes~:
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\begin{align*}
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c_0 &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) \dif t
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\quad \text{représente la valeur moyenne du signal} \\
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c_n &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) e^{-jn\omega_0 t} \dif t, \quad n \geq 1 \\
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c_{-n} &= \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} x(t) e^{jn\omega_0 t} \dif t, \quad n \geq 1
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\end{align*}
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\subsubsection{Correspondance entre les coefficients de Fourier réels et complexes}
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Par identification on % TODO: finish
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Par identification, on établit les relations suivantes~:
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\begin{align*}
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c_0 &= a_0 \\
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c_n &= \frac{1}{2} (a_n - jb_n) \\
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c_{-n} &= \frac{1}{2} (a_n + jb_n)
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\end{align*}
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\subsubsection{Représentation spectrale $S_x(f)$}
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On peut représenter la \emph{Densité Spectrale de Puissance} (DSF)~:
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\begin{equation*}
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S_x(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_{-n}|^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=O}^{+\infty} {\left(\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\right)}^2
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\end{equation*}
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Son unité est le W/Hz.
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On dit que c'est un spectre de raie.
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\subsubsection{Propriétés}
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\paragraph{Linéarité}
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Soient $x_1(t)$ et $x_2(t)$ deux signaux de même période, alors~:
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\begin{equation*}
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x(t) = \alpha x_1(t) = \beta x_2(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (\alpha c_n^1 + \beta c_n^2) e^{jn\omega_0 t}
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\end{equation*}
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\paragraph{Retard}
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Soit $x_1(t) = x(t - t_0)$, alors~:
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\begin{equation*}
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x_1(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n^1 e^{jn\omega_0 t} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0(t - t_0)}
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\end{equation*}
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$c_n^1 = c_n e^{-jn\omega_0 t_0}$
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$c_n, c_n^1$ et $c_n^2$ sont respectivement les coefficients de Fourier de $x(t), x_1(t)$ et $x_2(t)$.
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\subsubsection{Théorême de Parseval}
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% TODO: continue here
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\begin{equation*}
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\frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} |x(t)|^2 \dif t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2
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\end{equation*}
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