Add exercice 2 for intégrales généralisées

analyse/exercices/main.tex

@@ -568,4 +568,21 @@
                 (\sim e^{-kx} \text{ avec } k = 1 > 0)
             \end{align*}
 
+    \subsection{Exercice 2}
+
+        Étudier la convergence absolue de l'intégrale généralisée suivante.
+
+        \paragraph{$(I_5)$}
+            $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^2} \,\mathrm{d}x$
+
+            $(I_5)$ n'est pas strictement positif sur $[1;+\infty[$.
+            Nous allons donc étudier sa valeur absolue.
+            \begin{align*}
+                -1 \leq \sin{x} \leq 1 \\
+                0 \leq |\sin{x}| \leq 1 \\
+                0 \leq \left|\frac{\sin{x}}{x^2}\right| \leq \frac{1}{x^2} \\
+            \text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x \text{ converge donc } \left|\frac{\sin{x}}{x^2}\right| \text{ converge par majoration.} \\
+                \implies I_5 \text{ converge absolument.} \\
+            \end{align*}
+
 \end{document}