diff --git a/analyse/main.tex b/analyse/main.tex
index a3302c9..86208a9 100644
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@@ -408,7 +408,24 @@
                         \color{red}{y_0 = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
                     \end{equation*}
 
-                \item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0 = \frac{-b}{2a}$
+                \item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0$~:
+                    \begin{align*}
+                        \left\{
+                        \begin{array}{l}
+                            r_0 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\
+                            r_0 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
+                        \end{array}
+                        \right.
+                        \implies
+                        \left\{
+                        \begin{array}{l}
+                            r_0 = \frac{-b - 0}{2a} \\\\
+                            r_0 = \frac{-b + 0}{2a} \\
+                        \end{array}
+                        \right.
+                        \implies
+                        r_0 = \frac{-b}{2a}
+                    \end{align*}
 
                     Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
 
@@ -423,8 +440,28 @@
                         r_2 = \alpha - i\beta \\
                     \end{array}
                     \right.$
-
-                    On trouve $\alpha$ et $\beta$ avec la même formule que pour $\Delta > 0$, en prenant $\sqrt{\Delta} = i \sqrt{|\Delta|}$.
+                    \begin{align*}
+                        \left\{
+                        \begin{array}{l}
+                            r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\
+                            r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
+                        \end{array}
+                        \right.
+                        \implies
+                        \left\{
+                        \begin{array}{l}
+                            r_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\\\
+                            r_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \\
+                        \end{array}
+                        \right.
+                        \implies
+                        \left\{
+                        \begin{array}{l}
+                            \alpha = \frac{-b}{2a} \\\\
+                            \beta = \frac{i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\\
+                        \end{array}
+                        \right.
+                    \end{align*}
 
                     Les solutions de $(E_0)$ sont alors~: