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@ -1,7 +1,16 @@
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filename=$(shell basename $(shell pwd))
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timestamp=$(shell date +%Y-%m-%d_%H:%M)
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all: snapshot
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all: snapshot td2
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td2: td2.tex
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@latexmk -pdf td2.tex
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@if ! cmp --silent build/td2.pdf td2_*.pdf; then \
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touch td2_tmp.pdf; \
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rm td2*.pdf; \
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cp build/td2.pdf td2_${timestamp}.pdf; \
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echo "Updated"; \
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fi
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snapshot: main.tex
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@latexmk -pdf main.tex
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177
communications-numeriques/td2.tex
Normal file
177
communications-numeriques/td2.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,177 @@
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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Communications Numériques --- TD2\\Probabilités d'erreur dûes au bruit}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{styles}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes}
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\DeclareFontFamily{U}{wncy}{}
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\DeclareFontShape{U}{wncy}{m}{n}{<->wncyr10}{}
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\DeclareSymbolFont{mcy}{U}{wncy}{m}{n}
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\DeclareMathSymbol{\Sh}{\mathord}{mcy}{"58}
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\begin{document}
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\maketitle
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On considère une suite $\{a_{k'}\}$ binaire ($a_{k'} = 0$ ou 1) de débit 56 kbits/s.
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Ces symboles sont émis indépendamment avec les probabilités $P(a_{k'}=0)=\frac{1}{3}$ et $P(a_{k'}=1)=\frac{2}{3}$.
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On effectue un codage de la manière suivante~:
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\begin{tabular}{ccc}
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$\{a_{k'}\}$ & & $\{b_{k}\}$ \\
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00 & $\rightarrow$ & +2 \\
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11 & $\rightarrow$ & -2 \\
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10 & $\rightarrow$ & +1 \\
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01 & $\rightarrow$ & -1 \\
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\end{tabular}
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On émet un signal $x(t) = \sum b_k \, g(t-kT)$ avec $g(t) = +1$ (volt) pour $0 \leq t \leq T$ et 0 partout ailleurs sur un canal bruyant pour lequel on peut faire l'hypothèse de bruit blanc additif gaussien (\texttt{AWGN}).
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||||
La décision se fait à la réception en comparant le signal reçu $r(t)$ à des seuils de valeurs $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
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||||
\draw [-latex] (-3,0) -- (4,0);
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||||
\node at (4,0.5) {\small Seuils};
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||||
\node at (4,-0.5) {\small $x(t)$};
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||||
\node at (-2,0) {$\times$};
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||||
\node at (-2,-0.5) {-2};
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||||
\node at (-1,0) {$\times$};
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||||
\node at (-1,-0.5) {-1};
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||||
\node at (1,0) {$\times$};
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||||
\node at (1,-0.5) {1};
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||||
\node at (2,0) {$\times$};
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||||
\node at (2,-0.5) {2};
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||||
\node at (-1.5,0.5) {$S_1$};
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||||
\node at (-1.5,0) {|};
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||||
\node at (0,0.5) {$S_2$};
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||||
\node at (0,0) {|};
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||||
\node at (1.5,0.5) {$S_3$};
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||||
\node at (1.5,0) {|};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
On rappelle que la densité de probabilité d'un bruit blanc $n(t)$ gaussien peut s'écrire~:
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\begin{equation*}
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||||
p(n) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{n^2}{2\sigma^2}}
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||||
\end{equation*}
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||||
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||||
et que~:
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||||
\begin{equation*}
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||||
\int_{+a}^{+\infty} p(n) \dif n = \frac{1}{2} \mathrm{erfc}\left(\frac{a}{\sigma\sqrt{2}}\right)
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||||
\end{equation*}
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\paragraph{1}
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||||
Donner la valeur de la rapidité de modulation de $x(t)$
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\begin{align*}
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R = \frac{1}{T} \text{ or } T = 2Tb \\
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||||
\text{d'où } R = \frac{1}{2Tb} = \frac{Db}{2} = 28 \text{ kbauds}
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||||
\end{align*}
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||||
\paragraph{2}
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||||
Donner les probabilités des $b_k$
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\begin{align*}
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||||
p(a_{k'} = 1)
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||||
\left\{
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||||
\begin{array}{l}
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||||
\text{pour 1~: } p(a_k = 1 \text{ et } a_{k+1} = 1) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} = p(b_k = -2) \\ \\
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||||
\text{pour 0~: } p(a_k = 1 \text{ et } a_{k+1} = 0) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} = p(b_k = +1) \\
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||||
\end{array}
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||||
\right.
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||||
\\ \\
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||||
p(a_{k'} = 0)
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||||
\left\{
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||||
\begin{array}{l}
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||||
\text{pour 1~: } p(a_k = 0 \text{ et } a_{k+1} = 1) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9} = p(b_k = -1) \\ \\
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||||
\text{pour 0~: } p(a_k = 0 \text{ et } a_{k+1} = 0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = p(b_k = +2) \\
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||||
\end{array}
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||||
\right.
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
\paragraph{3}
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||||
On considère le seuil de décision $S$ entre deux valeurs successives $V_1$ et $V_2$ que peuvent prendre les symboles $b_k$ de $x(t)$.
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||||
On note $P(V_1)$ la probabilité d'avoir $x(t) = V_1$ et $P(V_2)$ la probabilité d'avoir $x(t) = V_2$.
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||||
Démontrer que le seuil $S$ qu'il faut pour avoir la probabilité d'erreur la plus faible est~:
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||||
\begin{equation*}
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||||
S = S_0 + \Delta S
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||||
\end{equation*}
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||||
où
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||||
\begin{equation*}
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||||
S_0 = \frac{V_1 + V_2}{2} \quad\quad \Delta S = \frac{\sigma^2}{\Delta V} \ln(\frac{P(V_1)}{P(V_2)}) \quad\quad \Delta V = V_2 - V_1
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||||
\end{equation*}
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||||
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||||
\begin{equation*}
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||||
r(t) = b(t) + n(t) \text{ avec } n(t) \text{ le bruit blanc additif gaussien (AWGN)}
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||||
\end{equation*}
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||||
\begin{align*}
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||||
P_E &= p(V_2) \cdot p(r(t) < S) + p(V_1) \cdot p(r(t) > S) \\
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||||
&= p(V_2) \cdot p(n < S - V_2) + p(V_1) \cdot p(n > S - V_1) \\\\
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||||
\text{On note } p(n<\alpha) &= \int_{-\infty}^{+\alpha} p(n) \dif n = F(\alpha) \\
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||||
p(n>\alpha) &= \int_{+\alpha}^{+\infty} p(n) \dif n = 1 - F(\alpha)
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
\begin{equation*}
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||||
\frac{\delta F(\alpha)}{\delta\alpha} = \frac{\delta(\int_{-\infty}^{+\alpha} p(n) \dif n)}{\delta\alpha} = p(\alpha)
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||||
\end{equation*}
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||||
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||||
\begin{align*}
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||||
\implies \text{Min} P_E &\implies \frac{\delta P_E(S)}{\delta S} = 0 \\
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||||
P_E &= p(V_2) \cdot F(S-V_2) + p(V_1) \cdot (1-F(S-V_1)) \\
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||||
\frac{\delta P_E}{\delta S} &= p(V_2) \cdot p(S-V_2) + p(V_1) \cdot (-p(S-V_1)) = 0 \\
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||||
&\implies \frac{p(S-V_2)}{p(S-V_1)} = \frac{p(V_1)}{p(V_2)} \\
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||||
\frac{p(V_1)}{p(V_2)} &= \frac{e^{\frac{-(S-V_2)^2}{2\sigma^2}}}{e^{\frac{-(S-V_1)^2}{2\sigma^2}}} = e^{-\frac{(S-V_2)^2}{2\sigma^2} + \frac{(S-V_1)^2}{2\sigma^2}} \\
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||||
2\sigma^2\ln{\frac{p(V_1)}{p(V_2)}} &= -(S-V_2)^2 + (S-V_1)^2 \\
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||||
&= -S^2 + 2SV_2 - V_2^2 + S^2 - 2SV_1 + V_1^2 \\
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||||
&= (V_2 - V_1)(2S - (V_1 + V_2)) \\
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||||
&= 2\Delta V(S-S_0) \\ \\
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||||
\implies S &= \frac{\sigma^2}{\Delta V}\ln{\frac{p(V_1)}{p(V_2)}} + S_0 = S_0 + \Delta S
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||||
\end{align*}
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\paragraph{4}
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En utilisant la formule de la question 3, donner les valeurs des seuils $S_1$, $S_2$ et $S_3$ qui permettent d'obtenir la probabilité d'erreur la plus basse (A.N. $\sigma^2 = \frac{1}{8} \text{ Volt}^2$)
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\begin{align*}
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S_1 &= -1.41V \\
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||||
S_2 &= 0V \\
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S_3 &= 1.59V \\
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\end{align*}
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\paragraph{5}
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Avec les valeurs de seuils obtenus à la question 4, calculer la probabilité d'erreur
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On donne le tableau suivant~:
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
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\hline
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$x$ & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 \\
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\hline
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$\mathrm{erfc}(x)$ & 0.8875 & 0.7773 & 0.6714 & 0.5716 & 0.4795 & 0.3961 \\
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\hline
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||||
0.7 & 0.8 & 0.9 & 1.0 & 1.1 & 1.2 & 1.3 \\
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||||
\hline
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||||
0.3222 & 0.2579 & 0.2031 & 0.1573 & 0.1198 & 0.0897 & 0.0660 \\
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||||
\hline
|
||||
1.4 & 1.5 & 1.6 & 1.7 & 1.8 & 1.9 & 2.0 \\
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||||
\hline
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||||
0.0477 & 0.0339 & 0.0237 & 0.0162 & 0.0109 & 0.0072 & 0.0047 \\
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\hline
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||||
\end{tabularx}
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||||
\end{center}
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\begin{align*}
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P_E &= p(-2) \int_{+0.59}^{+\infty} p(n) \dif n + p(-1) \left[
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\int_{-\infty}^{-0.41} p(n) \dif n +
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||||
\int_{1}^{+\infty} p(n) \dif n
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\right] + \ldots \\
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&= 7.4\%
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\end{align*}
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\end{document}
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