diff --git a/analyse/main.tex b/analyse/main.tex index 928c383..4f50a5e 100644 --- a/analyse/main.tex +++ b/analyse/main.tex @@ -12,195 +12,197 @@ \tableofcontents \clearpage -\section{Coin par c\oe{}ur} - \paragraph{Trigonométrie} - \begin{tabular}{c|ccccc} - \toprule - x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\ - \midrule - $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\ - \midrule - $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\ - \midrule - $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\ - \bottomrule - \end{tabular} +\paragraph{Trigonométrie} + \begin{tabular}{c|ccccc} + \toprule + x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$ \\ + \midrule + $\sin{x}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \\ + \midrule + $\cos{x}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\ + \midrule + $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x}$ & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & impossible \\ + \bottomrule + \end{tabular} - \paragraph{Exponentielle et Logarithme} +\paragraph{Exponentielle et Logarithme} + \hfill + $e^0 = 1 ; e^1 = e$ + \hfill + $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$ - \hfill - $e^0 = 1 ; e^1 = e$ - \hfill - $\ln{0} = \text{impossible~; } \ln{1} = 0 \text{~; } \ln{e} = 1$ +\paragraph{Dérivées et Primitives} - \paragraph{Dérivées et Primitives} - - \begin{multicols}{2} - - \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} - \toprule - Primitive --- $f(x)$ & Dérivée --- $f'(x)$ \\ - \toprule - \textcolor{red}{$a$} & 0 \\ - \midrule - \textcolor{red}{$ax$} & \textcolor{red}{$a$} \\ - \midrule - $\frac{1}{2} x^2$ & \textcolor{red}{$x$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$x^n$} & \textcolor{red}{$nx^{n-1}$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$\sqrt{x}$} & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\ - \midrule - $\frac{2}{3} x\sqrt{x}$ & \textcolor{red}{$\sqrt{x}$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$e^{ax}$} & \textcolor{red}{$ae^{ax}$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$a^x$} & $a^x \ln{a}$ \\ - \midrule - \textcolor{red}{$\ln{|x|}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{x}$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$-\frac{1}{x}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{x^2}$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$\cos{x}$} & \textcolor{red}{$-\sin{x}$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$\sin{x}$} & \textcolor{red}{$\cos{x}$} \\ - \midrule - \textcolor{red}{$\tan{x}$} & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ \\ - \midrule - $\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\ - \midrule - $\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ - \midrule - $\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ - \midrule - \textcolor{red}{$\arctan{x}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{1 + x^2}$} \\ - \bottomrule - \end{tabularx} - - \columnbreak - - \begin{tabularx}{\linewidth}{lY} - \toprule - \multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\ - & $(au)' = au'$ \\ - \midrule - Produit & $(uv)' = u'v + uv'$ \\ - \midrule - Inverse & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\ - \midrule - Quotient & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\ - \midrule - Composée & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\ - \bottomrule - \end{tabularx} - - \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} - \toprule - Fonction & Primitive \\ - \toprule - $u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\ - \midrule - $\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\ - \midrule - $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\ - \midrule - $u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\ - \midrule - $u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\ - \midrule - $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\ - \midrule - $u'e^u$ & $e^u$ \\ - \midrule - $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\ - \bottomrule - \end{tabularx} - - \end{multicols} - - \paragraph{Intégrales} - $\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ + \begin{multicols}{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} \toprule - Intégration par parties~: & Intégration par changement de variables~: \\ + Primitive --- $f(x)$ & Dérivée --- $f'(x)$ \\ + \toprule + $a$ & 0 \\ \midrule - $\int_a^b uv'\dif x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\dif x$ & $\int_a^b f(x)\dif x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\frac{\dif u}{u'}$ \\ + $ax$ & $a$ \\ + \midrule + $\frac{1}{2} x^2$ & $x$ \\ + \midrule + $x^n$ & $nx^{n-1}$ \\ + \midrule + $\sqrt{x}$ & $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ \\ + \midrule + $\frac{2}{3} x\sqrt{x}$ & $\sqrt{x}$ \\ + \midrule + $e^{ax}$ & $ae^{ax}$ \\ + \midrule + $a^x$ & $a^x \ln{a}$ \\ + \midrule + $\ln{|x|}$ & $\frac{1}{x}$ \\ + \midrule + $-\frac{1}{x}$ & $\frac{1}{x^2}$ \\ + \midrule + $\cos{x}$ & $-\sin{x}$ \\ + \midrule + $\sin{x}$ & $\cos{x}$ \\ + \midrule + $\tan{x}$ & $1 + \tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}$ \\ + \midrule + $\cot{x}$ & $-1 - \cot^2{x} = \frac{-1}{\sin^2{x}}$ \\ + \midrule + $\arccos{x}$ & $\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ + \midrule + $\arcsin{x}$ & $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ \\ + \midrule + $\arctan{x}$ & $\frac{1}{1 + x^2}$ \\ \bottomrule \end{tabularx} - \paragraph{Équations différentielles} + \columnbreak - \begin{tabularx}{\linewidth}{lllc} + \begin{tabularx}{\linewidth}{lY} \toprule - \multicolumn{2}{l}{Type d'E.D.} & Solutions & \\ - \toprule - \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = 0$} & $\lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$ \\ + \multirow{2}{*}{Linéarité} & $(u + v)' = u' + v'$ \\ + & $(au)' = au'$ \\ \midrule - \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = f(x)$} & $y_0 + \lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de \\ $ay' + by = f(x)$ \\ $f$ une fonction et $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$} \\ + Produit & $(uv)' = u'v + uv'$ \\ \midrule - \multirow{3}{*}{$ay'' + by' + cy = 0$} & $\Delta > 0$ & $\lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ & \multirowcell{3}[0pt][c]{$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ \\ $\alpha = \frac{-b}{2a} \quad \beta = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$} \\ - \cline{2-3} - & $\Delta = 0$ & $(\lambda x + \mu) e^{r_0 x}$ & \\ - \cline{2-3} - & $\Delta < 0$ & $e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})$ & \\ + Inverse & $\left(\frac{1}{v}\right)' = - \frac{v'}{v^2}$ \\ + \midrule + Quotient & $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ \\ + \midrule + Composée & $(f(u))' = u'f'(u)$ \\ \bottomrule \end{tabularx} - \paragraph{Solutions particulières des équations différentielles de 2\up{nd} ordre} - - \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} + \begin{tabularx}{\linewidth}{YY} \toprule - \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\ - $\alpha$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x} Q(x)$ \\ - $\alpha$ racine simple & $y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)$ \\ - $\alpha$ racine double & $y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)$ \\ + Fonction & Primitive \\ + \toprule + $u'u^n$ & $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ \\ \midrule - \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\ - $\alpha + i\beta$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\ - $\alpha + i\beta$ racine & $y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\ + $\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}$ \\ + \midrule + $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ \\ + \midrule + $u'\cos{u}$ & $\sin{u}$ \\ + \midrule + $u'\sin{u}$ & $-\cos{u}$ \\ + \midrule + $\frac{u'}{u}$ & $\ln{|u|}$ \\ + \midrule + $u'e^u$ & $e^u$ \\ + \midrule + $\frac{u'}{1 + u^2}$ & $\arctan{u}$ \\ \bottomrule \end{tabularx} - \paragraph{Intégrales généralisées} + \end{multicols} - Intégrales de référence~: - \begin{tabular}{lll} - \toprule - Intégrale & converge si & diverge si \\ - \toprule - $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\ - $\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\ - $\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\ - $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\ - \bottomrule - \end{tabular} +\paragraph{Intégrales}\\ + $\int_a^b f(x)\dif x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ + \begin{tabular}{|c|c|} + \toprule + IPP~: & changement de variables~: \\ + \midrule + $\int_a^b uv'\dif x = [uv]_a^b - \int_a^b u'v\dif x$ & $\int_a^b f(x)\dif x = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\frac{\dif u}{u'}$ \\ + \bottomrule + \end{tabular} - Majoration, minoration~: - \begin{tabular}{lll} - $0 \leq f(x) \leq g(x)$ & $\int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ converge $\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ converge aussi \\ - & $\int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ diverge $\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ diverge aussi \\ - \end{tabular} +\paragraph{Équations différentielles} - \paragraph{Séries de Fourier} - $S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right)$ + \begin{tabularx}{\linewidth}{lllc} + \toprule + \multicolumn{2}{l}{Type d'E.D.} & Solutions & \\ + \toprule + \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = 0$} & $\lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$ \\ + \midrule + \multicolumn{2}{l}{$ay' + by = f(x)$} & $y_0 + \lambda e^{rx} \quad \text{ avec } r = \frac{-b}{a}$ & \makecell{$y_0$ solution particulière de \\ $ay' + by = f(x)$ \\ $f$ une fonction et $a, b, \lambda\in\mathbb{R}$} \\ + \midrule + \multirow{3}{*}{$ay'' + by' + cy = 0$} & $\Delta > 0$ & $\lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}$ & \multirowcell{3}[0pt][c]{$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ \\ $\alpha = \frac{-b}{2a} \quad \beta = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$} \\ + \cline{2-3} + & $\Delta = 0$ & $(\lambda x + \mu) e^{r_0 x}$ & \\ + \cline{2-3} + & $\Delta < 0$ & $e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})$ & \\ + \bottomrule + \end{tabularx} - avec - \hfill - $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x$ - \hfill - $a_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$ - \hfill - $b_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$ +\paragraph{Solutions particulières des équations différentielles de 2\up{nd} ordre} - $f$ paire $\implies b_n = 0$ - \qquad - $f$ impaire $\implies a_0$ et $a_n = 0$ - \hfill - $\cos(n\pi) = (-1)^n$ - \qquad - $\sin(n\pi) = 0$ + \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} + \toprule + \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}P(x)$} \\ + $\alpha$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x} Q(x)$ \\ + $\alpha$ racine simple & $y_1 = x e^{\alpha x} Q(x)$ \\ + $\alpha$ racine double & $y_1 = x^2 e^{\alpha x} Q(x)$ \\ + \midrule + \multicolumn{2}{c}{Second membre du type $e^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x))$} \\ + $\alpha + i\beta$ non racine & $y_1 = e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\ + $\alpha + i\beta$ racine & $y_1 = x e^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x))$ \\ + \bottomrule + \end{tabularx} + +\paragraph{Intégrales généralisées} + + Intégrales de référence~: + \begin{tabular}{lcc} + \toprule + Intégrale & converge si & diverge si \\ + \toprule + $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\dif x$ & $\alpha > 1$ & $\alpha \leq 1$ \\ + $\int_a^{+\infty}e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\ + $\int_a^{+\infty}x^n e^{-\alpha x}\dif x$ & $\alpha > 0$ & $\alpha \leq 0$ \\ + $\int_a^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}(\ln x)^{\beta}}\dif x$ & $(\alpha > 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta > 1)$ & $(\alpha < 1)$ ou $(\alpha = 1 \text{ et }\beta \leq 1)$ \\ + \bottomrule + \end{tabular} + + Majoration, minoration~: + \begin{tabular}{lll} + $0 \leq f(x) \leq g(x)$ & $\int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ converge $\implies \int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ converge aussi \\ + & $\int_a^{+\infty}f(x)\dif x$ diverge $\implies \int_a^{+\infty}g(x)\dif x$ diverge aussi \\ + \end{tabular} + +\paragraph{Séries de Fourier} + $S_f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos{\frac{2\pi nx}{T}} + b_n\sin{\frac{2\pi nx}{T}}\right)$ + + avec + \hfill + $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-L}^L f(x) \dif x$ + \hfill + $a_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \cos{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$ + \hfill + $b_n = \frac{2}{T} \int_{-L}^L f(x) \sin{\frac{2\pi nx}{T}} \dif x$ + + $f$ paire $\implies b_n = 0$ \\ + $f$ impaire $\implies a_0$ et $a_n = 0$ + \hfill + $\cos(n\pi) = (-1)^n$ + \qquad + $\sin(n\pi) = 0$ + \hfill{} \\ + + Égalité de Parseval~: + \hfill + $\frac{1}{T}\int_{-L}^L f^2(x) \dif x = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)$ + \hfill{} \clearpage \section{Rappel sur les dérivées}