Continue produit de convolution
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes.multipart}
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\begin{document}
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@ -593,19 +595,154 @@
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\paragraph{Applications}
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Permet de déterminer la \emph{sortie temporelle} de tout Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT).
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Le système considéré peut être la \emph{modélisation} d'un canal de transmission par exemple.
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||||
La modélisation est la \emph{représentation mathématique} d'un \emph{phénomène physique}.
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||||
Le \emph{modèle} établit la ou les relations entre entrée(s) et sortie(s).
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\begin{itemize}
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||||
\item Permet de déterminer la \emph{sortie temporelle} de tout Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT).
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||||
\item Le système considéré peut être la \emph{modélisation} d'un canal de transmission par exemple.
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||||
\item La modélisation est la \emph{représentation mathématique} d'un \emph{phénomène physique}.
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||||
\item Le \emph{modèle} établit la ou les relations entre entrée(s) et sortie(s).
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||||
\end{itemize}
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\paragraph{Système Linéaire et Invariant dans le Temps (SLIT)}
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\begin{itemize}
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\item Linéarité
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\item Linéarité~:
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\item %TODO: finish
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
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\node (a) at (-6,1) {$\alpha x_1(t)$};
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\node (b) at (-6,-1) {$\beta x_2(t)$};
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\node[circle,draw,minimum width=0.6cm] (c) at (-3,0) {};
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\draw (-3,-0.3) -- (-3,0.3);
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\draw (-3.3,0) -- (-2.7,0);
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||||
\node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
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||||
\draw (a) -- (-3,1);
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\draw[-latex] (-3,1) -- (c.north);
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||||
\draw (b) -- (-3,-1);
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||||
\draw[-latex] (-3,-1) -- (c.south);
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||||
\draw[-latex](c) -- (r.west);
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||||
\draw[-latex](r) -- ++(5cm,0) node[above]{$y(t) = \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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\item Invariance dans le temps~:
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\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
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||||
\node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
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||||
\draw[-latex]++(-5cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$y(t - t_0)$};
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||||
\draw[-latex](r) -- ++(5cm,0) node[above]{$y(t - t_0)$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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||||
\end{itemize}
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\paragraph{Notation}
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\begin{equation*}
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(x * y)(t)
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\end{equation*}
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\paragraph{Définition}
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||||
Soient deux fonctions $x$ et $y$ intégrables dans $\mathbb{R}$ pour presque tout $t \in \mathbb{R}$.
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Le produit de convolution de $x$ et $y$ est tel que~:
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\begin{equation*}
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(x * y)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) y(t - \tau) \dif \tau
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\end{equation*}
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et $(x * y)(t)$ est borné.
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\paragraph{Remarques}
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||||
Le produit de convolution est une fonction de variable ici $t$.
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||||
$\tau$ est la variable muette de l'intégrale~: la fonction de convolution \emph{ne dépendra pas} de $\tau$.
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||||
\subsection{Interprétation physique}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
||||
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
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||||
\draw[thick, orange,smooth]
|
||||
(0,0) -- (0,3)
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||||
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
|
||||
;
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||||
\draw[thick, teal]
|
||||
(0,0) -- (0,1.5) node[left]{$y(\tau)$}
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||||
plot[domain=0:1]({\x}, {1.5})
|
||||
(1,1.5) -- (1,0)
|
||||
;
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||||
\node at (0,-0.3) {0};
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||||
\node at (1,-0.3) {$T$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
||||
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
|
||||
\draw[thick, orange,smooth]
|
||||
(0,0) -- (0,3)
|
||||
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
|
||||
;
|
||||
\draw[thick, teal]
|
||||
(-1.5,0) -- (-1.5,1.5) node[above]{$y(t - \tau)$}
|
||||
plot[domain=-1.5:-0.5]({\x}, {1.5})
|
||||
(-0.5,1.5) -- (-0.5,0)
|
||||
;
|
||||
\node at (-1.5,-0.3) {$t-T$};
|
||||
\node at (-0.5,-0.3) {$t$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
||||
\fill [red!30,domain=0:0.5,variable=\x]
|
||||
(0,0)
|
||||
-- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
|
||||
node[above right,red] {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$}
|
||||
-- (0.5,0)
|
||||
-- cycle;
|
||||
;
|
||||
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
|
||||
\draw[thick, orange,smooth]
|
||||
(0,0) -- (0,3)
|
||||
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
|
||||
;
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||||
\draw[thick, teal]
|
||||
(-0.5,0) -- (-0.5,1.5) node[left]{$y(t - \tau)$}
|
||||
plot[domain=-0.5:0.5]({\x}, {1.5})
|
||||
(0.5,1.5) -- (0.5,0)
|
||||
;
|
||||
\node at (-0.5,-0.3) {$t-T$};
|
||||
\node at (0.5,-0.3) {$t$};
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
|
||||
\fill [red!30,domain=0.5:1.5,variable=\x]
|
||||
node[above,red] {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$}
|
||||
(0.5,0)
|
||||
-- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
|
||||
-- (1.5,0)
|
||||
-- cycle;
|
||||
;
|
||||
\draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
|
||||
\draw[thick, orange,smooth]
|
||||
(0,0) -- (0,3)
|
||||
plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
|
||||
;
|
||||
\draw[thick, teal]
|
||||
(0.5,0) -- (0.5,1.5)
|
||||
plot[domain=0.5:1.5]({\x}, {1.5})
|
||||
(1.5,1.5)
|
||||
node[right]{$y(t - \tau)$}
|
||||
-- (1.5,0)
|
||||
;
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||||
\node at (0.5,-0.3) {$t-T$};
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||||
\node at (1.5,-0.3) {$t$};
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||||
\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{document}
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