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Add solution homogène for equa diff 2nd ordre

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flyingscorpio@arch-desktop 2021-09-19 13:10:52 +02:00
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81
analyse/main.tex
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@ -276,9 +276,9 @@
On étudie ici les équations différentielles \emph{linéaires} et à \emph{coefficients constants}.
\subsection{Équations différentielles du 1er ordre}
\subsection{Équations différentielles du 1\up{er} ordre}
Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay' + by = h(x)} (E), a \neq 0, a, b \in \mathbb{R}$, ou $y = y(x)$ est la fonction recherchée.
Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay' + by = h(x)} \quad (E)$ \quad où $a, b \in \mathbb{R}^*$ et où $y = y(x)$ est la fonction recherchée.
$(E)$ est linéaire car $y$ intervient de manière linéaire~: il n'y a pas de terme du type $y^3, y^2, \sin{y}$, etc\ldots
@ -289,17 +289,17 @@
On commence par résoudre l'équation homogène (c'est à dire sans la fonction $h(x)$) associée~:
\begin{equation*}
ay_0' + by_0 = 0 (E_0)
ay_0' + by_0 = 0 \quad (E_0)
\end{equation*}
Cela nous donne une équation caractéristique~:
\begin{align*}
ar_0 + b &= 0 \\
r_0 &= -\frac{b}{a}
ar + b &= 0 \\
r &= -\frac{b}{a}
\end{align*}
La solution de $E_0$ est alors $\textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{r_0 x}}, \lambda\in\mathbb{R}$.
La solution de $(E_0)$ est alors $\textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{rx}} \quad \text{ où } \lambda\in\mathbb{R}$.
\subsubsection{Trouver la solution particulière ($y_1$)}
@ -325,13 +325,13 @@
\begin{enumerate}
\item si $\lambda \neq r_0$~:
\item si $\lambda \neq r$~:
\begin{equation*}
\textcolor{red}{y_1(x) = Q_n(x) e^{\lambda x}}
\end{equation*}
\item si $\lambda = r_0$~:
\item si $\lambda = r$~:
\begin{equation*}
\textcolor{red}{y_1(x) = x Q_n(x) e^{\lambda x}}
@ -357,14 +357,75 @@
Cela nous donne $y_1$, solution particulière.
\subsubsection{Trouver la solution générale ($y_g$)}
\subsubsection{Trouver la solution générale ($y$)}
La solution générale de $(E)$ s'écrit~:
\begin{equation*}
y_g = y_0 + y_1
y = y_0 + y_1
\end{equation*}
\subsection{Équations différentielles du 2\up{nd} ordre}
Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay'' + by' + cy = g(x)} \quad (E) \quad \text{ où } a, b, c \in \mathbb{R}$
Là encore, on passe par les 3 mêmes étapes que pour les équations différentielles du 1\up{er} ordre.
\subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}
L'équation homogène associée est~:
\begin{equation*}
ay'' + by' +cy = 0 \quad (E_0)
\end{equation*}
Cela nous donne une équation caractéristique~:
\begin{align*}
&ar^2 + br + c = 0 \\
&\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{(le discriminant)}
\end{align*}
\begin{itemize}
\item si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $
\left\{
\begin{array}{c}
r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
\end{array}
\right.$
Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
\begin{equation*}
\textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
\end{equation*}
\item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0$
Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
\begin{equation*}
\textcolor{red}{y_0 = (\lambda + \mu x) e^{r_0 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
\end{equation*}
\item si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique possède deux racines complexes $
\left\{
\begin{array}{c}
r_1 = \alpha + i\beta \\
r_2 = \alpha - i\beta \\
\end{array}
\right.$
Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
\begin{equation*}
\textcolor{red}{y_0 = e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
\end{equation*}
\end{itemize}
\clearpage
\section{Intégrales généralisées}