Add solution homogène for equa diff 2nd ordre

analyse/main.tex

@@ -276,9 +276,9 @@
 
     On étudie ici les équations différentielles \emph{linéaires} et à \emph{coefficients constants}.
 
-    \subsection{Équations différentielles du 1er ordre}
+    \subsection{Équations différentielles du 1\up{er} ordre}
 
-        Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay' + by = h(x)} (E), a \neq 0, a, b \in \mathbb{R}$, ou $y = y(x)$ est la fonction recherchée.
+        Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay' + by = h(x)} \quad (E)$ \quad où $a, b \in \mathbb{R}^*$ et où $y = y(x)$ est la fonction recherchée.
 
         $(E)$ est linéaire car $y$ intervient de manière linéaire~: il n'y a pas de terme du type $y^3, y^2, \sin{y}$, etc\ldots
 
@@ -289,17 +289,17 @@
             On commence par résoudre l'équation homogène (c'est à dire sans la fonction $h(x)$) associée~:
 
             \begin{equation*}
-                ay_0' + by_0 = 0 (E_0)
+                ay_0' + by_0 = 0 \quad (E_0)
             \end{equation*}
 
             Cela nous donne une équation caractéristique~:
 
             \begin{align*}
-                ar_0 + b &= 0 \\
+                ar + b &= 0 \\
-                r_0 &= -\frac{b}{a}
+                r &= -\frac{b}{a}
             \end{align*}
 
-            La solution de $E_0$ est alors $\textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{r_0 x}}, \lambda\in\mathbb{R}$.
+            La solution de $(E_0)$ est alors $\textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{rx}} \quad \text{ où } \lambda\in\mathbb{R}$.
 
         \subsubsection{Trouver la solution particulière ($y_1$)}
 
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                     \begin{enumerate}
 
-                        \item si $\lambda \neq r_0$~:
+                        \item si $\lambda \neq r$~:
 
                             \begin{equation*}
                                 \textcolor{red}{y_1(x) = Q_n(x) e^{\lambda x}}
                             \end{equation*}
 
-                        \item si $\lambda = r_0$~:
+                        \item si $\lambda = r$~:
 
                             \begin{equation*}
                                 \textcolor{red}{y_1(x) = x Q_n(x) e^{\lambda x}}
@@ -357,14 +357,75 @@
 
             Cela nous donne $y_1$, solution particulière.
 
-        \subsubsection{Trouver la solution générale ($y_g$)}
+        \subsubsection{Trouver la solution générale ($y$)}
 
             La solution générale de $(E)$ s'écrit~:
 
             \begin{equation*}
-                y_g = y_0 + y_1
+                y = y_0 + y_1
             \end{equation*}
 
+    \subsection{Équations différentielles du 2\up{nd} ordre}
+
+        Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay'' + by' + cy = g(x)} \quad (E) \quad \text{ où } a, b, c \in \mathbb{R}$
+
+        Là encore, on passe par les 3 mêmes étapes que pour les équations différentielles du 1\up{er} ordre.
+
+        \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}
+
+            L'équation homogène associée est~:
+
+            \begin{equation*}
+                ay'' + by' +cy = 0 \quad (E_0)
+            \end{equation*}
+
+            Cela nous donne une équation caractéristique~:
+
+            \begin{align*}
+                &ar^2 + br + c = 0 \\
+                &\Delta = b^2 - 4ac \quad \text{(le discriminant)}
+            \end{align*}
+
+            \begin{itemize}
+
+                \item si $\Delta > 0$, l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $
+                    \left\{
+                    \begin{array}{c}
+                        r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
+                        r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\
+                    \end{array}
+                    \right.$
+
+                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
+
+                    \begin{equation*}
+                        \textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
+                    \end{equation*}
+
+                \item si $\Delta = 0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r_0$
+
+                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
+
+                    \begin{equation*}
+                        \textcolor{red}{y_0 = (\lambda + \mu x) e^{r_0 x}} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
+                    \end{equation*}
+
+                \item si $\Delta < 0$, l'équation caractéristique possède deux racines complexes $
+                    \left\{
+                    \begin{array}{c}
+                        r_1 = \alpha + i\beta \\
+                        r_2 = \alpha - i\beta \\
+                    \end{array}
+                    \right.$
+
+                    Les solutions de $(E_0)$ sont alors~:
+
+                    \begin{equation*}
+                        \textcolor{red}{y_0 = e^{\alpha x}(\lambda\cos{(\beta x)} + \mu\sin{(\beta x)})} \quad \text{ où } \lambda, \mu \in \mathbb{R}
+                    \end{equation*}
+
+            \end{itemize}
+
 \clearpage
 \section{Intégrales généralisées}