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@ -7,6 +7,9 @@
\usepackage{../cours}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes.multipart}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\definecolor{Red}{rgb}{1,0.2,0.2}
\newcolumntype{r}{>{\columncolor{Red}}c}
\begin{document}
@ -700,4 +703,65 @@
On ne peut donc pas choisir $e$ et $d$ au hasard.
$e$ et $d$ sont liés.
\subsection{Indicatrice d'Euler}
Dans $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$~:
\begin{center}
\begin{tabular}{cc|cccccrc}
\multicolumn{2}{c}{$n=7$} & \multicolumn{7}{c}{puissances} \\
\toprule
élément & est-il inversible~? & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\midrule
$\overline{0}$ & jamais & $\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$ \\
$\overline{1}$ & toujours & $\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{1}$ \\
$\overline{2}$ & oui & $\overline{2}$ & $\overline{4}$ & $\overline{1}$ & $\overline{2}$ & $\overline{4}$ & $\overline{1}$ & $\overline{2}$ \\
$\overline{3}$ & oui & $\overline{3}$ & $\overline{2}$ & $\overline{6}$ & $\overline{4}$ & $\overline{5}$ & $\overline{1}$ & $\overline{3}$ \\
$\overline{4}$ & oui & $\overline{4}$ & $\overline{2}$ & $\overline{1}$ & $\overline{4}$ & $\overline{2}$ & $\overline{1}$ & $\overline{4}$ \\
$\overline{5}$ & oui & $\overline{5}$ & $\overline{4}$ & $\overline{6}$ & $\overline{2}$ & $\overline{3}$ & $\overline{1}$ & $\overline{5}$ \\
$\overline{6}$ & oui & $\overline{6}$ & $\overline{1}$ & $\overline{6}$ & $\overline{1}$ & $\overline{6}$ & $\overline{1}$ & $\overline{6}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item 6 éléments inversibles
\item toutes les puissances 6 des éléments valent $\overline{1}$
\item toutes les puissances 7 des éléments sont ces éléments
\end{itemize}
On constate que si un élément à $n$ éléments inversibles, toutes les puissances $n$ valent $\overline{1}$.
Le nombre d'éléments inversibles $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ se note $\varphi(n)$, l'indicatrice d'Euler.
\begin{equation} \label{eq:phi1}
\text{Si $p$ est un nombre premier, } \varphi(p) = p - 1
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:phi2}
\text{Si $p$ est premier et } k \geq 2, \quad \varphi(p^k) = (p-1)\cdot p^{(k-1)}
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:phi3}
\text{Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux } (\mathrm{pgcd}(a,b)=1), \quad \varphi(ab) = \varphi(a) \times \varphi(b)
\end{equation}
Ces trois règles vont nous permettre de trouver le nombre d'éléments inversibles très rapidement.
Exemples~:
Règle~\eqref{eq:phi1}~:
\begin{align*}
\varphi(2) = 2 - 1 = 1
\end{align*}
Règle~\eqref{eq:phi2}~:
\begin{align*}
\varphi(81) = \varphi(3^4) = (3-1) \times 3^{(4-1)} = 2 \times 3^3 = 54
\end{align*}
Règle~\eqref{eq:phi3}~:
\begin{align*}
\varphi(15) = \varphi(3 \times 5) &= \varphi(3) \times \varphi(5) \\
&= 2 \times 4 \\
&= 8
\end{align*}
\end{document}