From 6ec9eead21e8861fc5ca2124b068d19b02f36912 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 16 Sep 2021 10:10:14 +0200
Subject: [PATCH] Write equa diff du 1er ordre

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 analyse/main.tex | 90 ++++++++++++++++++++++++++++++++----------------
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diff --git a/analyse/main.tex b/analyse/main.tex
index 3839461..a78f975 100644
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 \section{Équations différentielles}
 
-    \subsection{Équation de type $y' + ay = f$}
+    On étudie ici les équations différentielles \emph{linéaires} et à \emph{coefficients constants}.
 
-        Pour une équation de type $y' + ay = f$ ($f$ étant une fonction), la résolution se fait en 3 étapes.
+    \subsection{Équations différentielles du 1er ordre}
 
-        \subsubsection{Solution homogène ($y_h$)}
+        Elles sont de la forme $\textcolor{red}{ay' + by = h(x)} (E), a \neq 0, a, b \in \mathbb{R}$, ou $y = y(x)$ est la fonction recherchée.
 
-            On commence par résoudre l'équation homogène en enlevant la partie fonction ($f$).
+        $(E)$ est linéaire car $y$ intervient de manière linéaire~: il n'y a pas de terme du type $y^3, y^2, \sin{y}$, etc\ldots
+
+        Résoudre une telle équation différentielle se fait en 3 étapes.
+
+        \subsubsection{Trouver la solution homogène ($y_0$)}
+
+            On commence par résoudre l'équation homogène (c'est à dire sans la fonction $h(x)$) associée~:
 
             \begin{equation*}
-                y' + ay = 0
+                ay_0' + by_0 = 0 (E_0)
             \end{equation*}
 
-            Cela nous donne la première forme~: $y' = -ay$, dont on connaît la solution~:
-            \begin{equation*}
-                y_h = \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R}
-            \end{equation*}
+            Cela nous donne une équation caractéristique~:
 
-        \subsubsection{Solution particulière ($y_0$)}
+            \begin{align*}
+                ar_0 + b &= 0 \\
+                r_0 &= -\frac{b}{a}
+            \end{align*}
 
-            On essaie ensuite de trouve une solution particulière de l'équation de départ.
-            Pour cela, on va passer par une fonction $y_0$ de même ordre que la fonction $f$~:
+            La solution de $E_0$ est alors $\textcolor{red}{y_0 = \lambda e^{r_0 x}}, \lambda\in\mathbb{R}$.
+
+        \subsubsection{Trouver la solution particulière ($y_1$)}
+
+            On cherche maintenant une solution particulière de $(E)$ ($ay' + by = h(x)$).
+            Pour cela, on va passer par une fonction $y_1$ de même type que la fonction $h(x)$~:
 
             \begin{itemize}
 
-                \item Pour $f$ polynôme, un polynôme de même ordre~:
+                \item Pour $h(x) = P_n(x)$, polynôme de degré $n$
+
+                    \begin{equation*}
+                        \textcolor{red}{y_1 = Q_n(x)} \text{, polynôme de même degré $n$}
+                    \end{equation*}
 
                     \begin{align*}
-                        x &\rightarrow ax +b \\
-                        x^2 &\rightarrow ax^2 + bx + c \\
-                        x^3 &\rightarrow ax^3 + bx^2 + cx + d \\
+                        x &\rightarrow Ax + B \\
+                        x^2 &\rightarrow Ax^2 + Bx + C \\
+                        x^3 &\rightarrow Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \\
                         \dots
                     \end{align*}
 
-                \item Pour $f$ trigonométrique, $a\cos{x} + b\sin{x}$
+                \item Pour $h(x) = P_n(x) e^{\lambda x}$
 
-                \item Pour $f$ exponentielle, $P(x)e^x$, avec $P$ de même ordre que le polynôme produit de $e$ dans $f$ si ce $e$ est différent de celui trouvé dans la solution homogène.
-                    Si l'exponentielle est identique, $P$ doit être de l'ordre du polynôme + 1.
+                    \begin{enumerate}
+
+                        \item si $\lambda \neq r_0$~:
+
+                            \begin{equation*}
+                                \textcolor{red}{y_1(x) = Q_n(x) e^{\lambda x}}
+                            \end{equation*}
+
+                        \item si $\lambda = r_0$~:
+
+                            \begin{equation*}
+                                \textcolor{red}{y_1(x) = x Q_n(x) e^{\lambda x}}
+                            \end{equation*}
+
+                    \end{enumerate}
+
+                \item Pour $h(x) = \alpha\cos{px} + \beta\sin{px}$
+
+                    \begin{equation*}
+                        \textcolor{red}{y_1(x) = A\cos{px} + B\sin{px}}
+                    \end{equation*}
 
             \end{itemize}
 
-            On applique alors l'équation de départ à $y_0$~:
+            On applique alors l'équation de départ à $y_1$~:
 
             \begin{equation*}
-                y_0' + ay_0 = f
+                Ay_1' + By_1 = h(x)
             \end{equation*}
 
-            Et on la résoud pour trouver $a, b, c, \dots$.
+            Et on la résoud pour trouver $A, B, C, \dots$.
 
-            Cela nous donne $y_0$, solution particulière.
+            Cela nous donne $y_1$, solution particulière.
 
-        \subsubsection{Solution générale ($y$)}
+        \subsubsection{Trouver la solution générale ($y_g$)}
 
-            On applique maintenant la formule~:
+            La solution générale de $(E)$ s'écrit~:
 
-            \begin{align*}
-                y &= y_0 + y_h \\
-                  &= y_0 + \lambda e^{-ax}, \lambda \in \mathbb{R} \\
-            \end{align*}
+            \begin{equation*}
+                y_g = y_0 + y_1
+            \end{equation*}
 
 \clearpage
 \section{Intégrales généralisées}