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algebre-non-lineaire/main.tex

@@ -575,9 +575,7 @@
 
     Pour RSA, nous allons voir des équations non linéaires.
 
-    \paragraph{Chiffrement}
-
-        Clé de chiffrement (publique)~: $(n,e)$.
+    \subsection{Chiffrement (clé publique)~: $(n,e)$}
 
         \begin{equation*}
             c = m^e [n]
@@ -640,4 +638,70 @@
 
         La complexité est maintenant logarithmique.
 
+    \subsection{Déchiffrement (clé privée)~: $(n,d)$}
+
+        émetteur            espace public               destinataire
+        partie privée ----> clé publique $(n,e)$        partie privée
+                            formule de chiffrement      message en clair $m$, $c=m^e [n]$
+        on doit déchiffrer            c                     |
+        information privée  <--------------------------------
+        clé privée (n,d)
+
+        \begin{center}
+        \begin{tikzpicture} % TODO finish
+            \node [rectangle,draw,thick]
+                (src) at (0,0)
+                {\parbox{4cm}{\centering
+                    émetteur \\
+                    partie privée \\
+                    information privée \\
+                    clé privée $(n,d)$
+                }}
+                ;
+
+            \node (key) at (5,0) {\parbox{2.5cm}{\centering fonction de \\ chiffrement}};
+            \node [rectangle,draw,thick]
+                (dst) at (12,0)
+                {\parbox{4cm}{\centering
+                    destinataire \\
+                    partie privée \\
+                    message en clair $m$ \\
+                    $c = m^e [n]$
+                }};
+
+            \draw [-latex]
+                (src) -- (key)
+                node[above,midway]{\parbox{2cm}{\centering$m$ \\ message \\ en clair}}
+                ;
+            \draw [-latex]
+                (dst) -- (src)
+                node[above,midway]{\parbox{2cm}{\centering$m$ \\ message \\ en clair}}
+                ;
+        \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+
+        On connaît $n,e,c$.
+        On sait que $c=m^e [n]$.
+        Pour trouver $m$ à partir de $n$, $e$ et $c$, on a besoin du logarithme discret.
+        En théorie de la complexité, il s'agit d'un \emph{problème difficile}.
+        On ne sait pas le résoudre efficacement.
+        La solution mathématique existe, mais il faudrait plusieurs milliards d'années pour la résoudre.
+
+        Pour déchiffrer, on va utiliser une clé privée $(n,d)$.
+        Le calcul est alors exactement le même que pour le chiffrement~:
+
+        \begin{equation*}
+            m = c^d [n]
+        \end{equation*}
+
+        En recevant $c$ (rappel~: $c = m^e [n]$)~:
+        \begin{align*}
+            c^d [n] &= (m^e [n])^d [n] \\
+                    &= m^{ed} [n]
+        \end{align*}
+
+        Or, pour déchiffrer, il faut obtenir le message en clair, donc \emph{il faut que} $m^{ed} [n] = m [n]$.
+        On ne peut donc pas choisir $e$ et $d$ au hasard.
+        $e$ et $d$ sont liés.
+
 \end{document}