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156
communications-numeriques/main.tex
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@ -335,11 +335,7 @@
\item $V$ est la valence
\end{itemize}
Pour comprendre intuitivement la formule, pour $V=2^n$~:
\begin{equation*}
R = \frac{D}{\log_2(2^n)} = \frac{D}{n}
\end{equation*}
Pour comprendre intuitivement la formule, pour $V=2^n$, \quad $R = \frac{D}{\log_2(2^n)} = \frac{D}{n}$.
\begin{itemize}
@ -411,28 +407,144 @@
\item signal bipolaire~: antipolaire avec la valeur 0
\end{itemize}
\section{Communications numériques}
\section{Expressions temporelle et spectrale}
\subsection{Expressions temporelles et spectrales}
\subsection{Expression temporelle}
\subsubsection{Expression spectrale}
Un signal $x(t)$ correspond à la suite $\{a_k\}$.
\paragraph{Formule de Bennett}
\begin{equation*}
x(t) = \sum_k x_k(t)
\end{equation*}
\begin{equation*}
S_{xx}(f) = S_{gg}(f) \left[\frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \;\Sh\left(\frac{f}{1/T}\right) \right]
\end{equation*}
Le signal $x_k(t)$ correspond donc à $a_k$.
\paragraph{Propriétés requises}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
\node [rectangle,draw,minimum height=0.8cm,minimum width=2cm] (lcodeur) at (-7.5,0) {codeur};
\draw [latex-] (lcodeur) -- ++(-2cm,0) node[above]{$\{\alpha_k\}$};
\draw [-latex] (lcodeur) -- ++(2cm,0) node[above]{$x(t)$};
\node [rectangle,draw] (rcodeur) at (0,0.3) {\parbox{5.5cm}{\centering codeur \vspace{1.7cm}}};
\node [rectangle,draw,minimum height=0.8cm,minimum width=2cm] (white) at (-1.5,0) {};
\node [rectangle,draw,minimum height=0.8cm,minimum width=2cm] (g) at (1.5,0) {$g(t)$};
\draw [latex-] (white) -- ++(-2cm,0) node[above]{$\{\alpha_k\}$};
\draw [-latex] (white) -- (g) node[above,midway]{$\{a_k\}$};
\draw [-latex] (g) -- ++(2cm,0) node[above]{$x(t)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Le spectre ne doit pas avoir de composante continue.
\item Le spectre doit être décroissant et tendre vers 0 aux basses fréquences.
\item Le spectre doit avoir un support le plus étroit possible.
\item Le spectre doit comprendre des raies à la fréquence d'horloge et à ses multiples.
\item le rythme d'horloge doit pouvoir être conservé à court terme.
\item Le spectre instantané doit être proche du spectre théorique.
\item Le signal doit posséder une redondance de manière à pouvoir tester sa vraisemblance.
\end{enumerate}
Le symbole $a_k$ n'existe que durant un temps $T$, $\frac{1}{T}$ étant le débit brut de la source.
La suite $\{a_k\}$ est alors une suite de valeurs discrètes apparaissant tous les $T$ et à qui on peut associer un signal $a(t)$ grâce au \emph{peigne de Dirac}.
\begin{equation*}
\Sh\left(\frac{t}{T}\right) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)
\quad\quad\quad\quad
a(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\,\delta(t - kT)
\end{equation*}
Le codeur est un système linéaire supposé invariant dans le temps.
La modélisation se fait par sa réponse impulsionnelle $g(t)$ que l'on nomme \emph{formant}.
\begin{align*}
x(t) &= g(t) * a(t) \\
&= g(t) * \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\,\delta(t-kT) \\
&= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\,g(t-kT)
\end{align*}
\subsection{Expression spectrale}
\paragraph{Formule de Bennett}
\begin{equation*}
S_{xx}(f) = S_{gg}(f) \left[
\frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \; \Sh\left(\frac{f}{1/T}\right)
+ \frac{2}{T} \sum_{n=1}^{+\infty} (R_{aa}(n) - \overline{a}^2)\cos(2\pi nfT)
\right]
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item Densité Spectrale de Puissance (DSP) de $x(t)$~:
\begin{equation*}
S_{xx}(f) = \mathrm{TF}(R_{xx}(\tau))
\end{equation*}
\item Valeur moyenne de la suite $\{a_k\}$~:
\begin{equation*}
\overline{a} = E(a_k)
\end{equation*}
\item Variance~:
\begin{equation*}
\sigma_a^2 = \mathrm{var}(a) = E(a_k^2) - \overline{a}^2
\end{equation*}
\item Coefficient d'autocorrélation statistique~:
\begin{equation*}
R_{aa}(n) = E(a_k\cdot a_{k+n})
\end{equation*}
\item $S_{gg}(f)$~: DSP du formant $g(t)$
\end{itemize}
On peut simplifier la formule de Bennett dans le cas d'une source sans mémoire~:
\begin{equation*}
S_{xx}(f) = S_{gg}(f) \left[
\frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \; \Sh\left(\frac{f}{1/T}\right)
\right]
\end{equation*}
Le deuxième terme de la formule marque le rythme, grâce au peigne qui représente les \emph{raies spectrales} de l'horloge.
\section{Transmission en bande de base~: les codes en ligne}
\subsection{Propriétés requises}
\paragraph{Le spectre ne doit pas avoir de composante continue}
Cela implique que le valeur moyenne du signal soit nulle.
Cette valeur moyenne est de toute façon éliminée par un éventuel condensateur série ou transformateur en cascade qui serait présent sur le système de traitement du canal de transmission.
\paragraph{Le spectre doit être décroissant et tendre vers 0 aux basses fréquences}
Cette propriété complète la précédente.
Grâce à elle, un filtre passe-haut, qui coupe les basses fréquences, n'aura que peu d'incidence sur la perte d'information du signal.
\paragraph{Le spectre doit avoir un support le plus étroit possible}
En plus d'une fréquence de coupure basse, tout système de traitement possède une fréquence de coupure haute, au delà de laquelle il ne fonctionne plus correctement.
Ce système de traitement se comporte donc comme un filtre passe-bande.
\paragraph{Le spectre doit comprendre des raies à la fréquence d'horloge et à ses multiples}
Le signal numérique $x(t)$ possédera ainsi implicitement le signal d'horloge.
\paragraph{Le rythme d'horloge doit pouvoir être conservé à court terme}
La propriété précédente implique que la DSP contienne la fonction peigne (les raies d'horloge).
Cette DSP résulte d'une Transformée de Fourier, donc d'une moyenne sur le temps.
Le système de récupération d'horloge, qui fonctionne en temps réel, n'est pas garanti de fournir un signal d'horloge synchrone avec les données.
\paragraph{Le spectre instantané doit être proche du spectre théorique}
Les propriétés vues précédemment sont vérifiées sur la DSP de $x(t)$ ($S_{xx}(f)$), mais le traitement du signal est fait en temps réel.
Il faut donc à chaque instant que le spectre instantané (affiché par les analyseurs de spectre) vérifie donc aussi ces propriétés.
\begin{equation*}
X(f,t_0,\Delta t) = \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t} x(t) e^{-2\pi jft} \dif t
\end{equation*}
Cela revient donc à vérifier que $X(f,t_0,t) \cong X(f)$ pour tout $t_0$ à $\Delta t$ donné.
\begin{equation*}
X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-2\pi jft} \dif t
\end{equation*}
\paragraph{Le signal doit posséder une redondance de manière à pouvoir tester sa vraisemblance}
Pour s'assurer à la réception que le signal reçu est \emph{vraisemblable}, il faut faire une simple détection de défaut, au lieu de remplacer le système de détection/correction d'erreurs, qui est beaucoup plus performant et basé sur la vraisemblance du message, non pas du signal.
\subsection{Codes de voie bivalents}
\end{document}