Write chiffrement affine
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@ -5,6 +5,8 @@
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{shapes.multipart}
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\begin{document}
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@ -353,20 +355,127 @@
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\right.
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\end{align*}
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Exemple~:
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\begin{multicols}{2}
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$\overline{7}$ est-il inversible dans $\frac{\mathbb{Z}}{15\mathbb{Z}}$~?
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\hfill
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\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{YYY}
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\toprule
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r & u & q \\
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\midrule
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15 & 0 & \\
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7 & 1 & 2 \\
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1 & -2 & 7 \\
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0 & & \\
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Exemple~:
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$\overline{7}$ est-il inversible dans $\frac{\mathbb{Z}}{15\mathbb{Z}}$~?
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$u=-2$, $u+n = 13$ donc l'inverse de $\overline{7}$ est $\overline{13}$.
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYY}
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\toprule
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r & u & q \\
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\midrule
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15 & 0 & \\
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7 & 1 & 2 \\
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1 & -2 & 7 \\
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0 & & \\
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\end{tabularx}
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\end{multicols}
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\section{Éléments de cryptographie}
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%\begin{center}
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%\begin{tikzpicture}
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% \node [rectangle,draw,thick] (chiff) at (0,0) {fonction de chiffrement};
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%\end{tikzpicture}
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%\end{center}
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Les fonctions sont publiques.
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Cela leur permet notamment d'être bien testées.
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Il faut donc un élément qui peut rester privé~: les clés de chiffrement et de déchiffrement.
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Pour déchiffrer un message, il suffit de connaître le message chiffré (public), la fonction de déchiffrement (public) et la clé de déchiffrement.
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Cette clé est donc l'unique élément privé, et c'est son partage qui va poser problème.
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\subsection{Chiffrement de César}
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Alphabet~:
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\begin{equation*}
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\begin{array}{lllll}
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a & b & c & \cdots & z \\
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0 & 1 & 2 & \cdots & 25 \\
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\end{array}
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\end{equation*}
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Fonction de chiffrement~:
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\begin{equation*}
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c = (m + k)[26]
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\end{equation*}
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Fonction de déchiffrement~:
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\begin{equation*}
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m = c - k
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\end{equation*}
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\subsection{Chiffrement symmétrique}
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Si l'on connaît la clé de chiffrement ($k_c$), on connaît la clé de déchiffrement ($k_d$).
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$k_d$ est donc la ressource critique.
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Les clés sont secrètes.
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Enigma, utilisé par les Allemands pendant la Seconde Guerre Mondiale, est symmétrique.
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\subsection{Chiffrement affine}
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\begin{multicols}{2}
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On a un alphabet de $n$ symboles. \\
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Par exemple ici $n=6$.
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YY}
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& $\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}}$ \\ \\
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a & $\overline{0}$ \\
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b & $\overline{1}$ \\
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c & $\overline{2}$ \\
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x & $\overline{3}$ \\
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! & $\overline{4}$ \\
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- & $\overline{5}$ \\
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\end{tabularx}
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$u=-2$, $u+n = 13$ donc l'inverse de $\overline{7}$ est $\overline{13}$.
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\end{multicols}
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Chiffrement~:
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\begin{equation*}
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c = (\overline{a} \otimes m) \oplus \overline{b}
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\end{equation*}
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Clé~:
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\begin{equation*}
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k_c = (\overline{a}, \overline{b})
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\end{equation*}
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Donc~:
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\begin{equation*}
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\text{xab!} \implies \bar{3} \bar{0} \bar{1} \bar{4}
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\end{equation*}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{YYYYY}
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xab! & $\overline{3}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$ & $\overline{4}$ \\
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$(\overline{a}\otimes m) \oplus \overline{b}$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ \\
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& $(\overline{5}\otimes \overline{3}) \oplus \overline{2}$ & $(\overline{5}\otimes \overline{0}) \oplus \overline{2}$ & $(\overline{5}\otimes \overline{1}) \oplus \overline{2}$ & $(\overline{5}\otimes \overline{4}) \oplus \overline{2}$ \\
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& $=\overline{5}$ & $=\overline{2}$ & $=\overline{1}$ & $=\overline{4}$ \\
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& $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ \\
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& - & c & b & $!$ \\
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\end{tabularx}
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On a donc \texttt{xab!} $\rightarrow$ \texttt{-cb!}.
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\begin{align*}
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&c = am + b &&c = \overline{a} \otimes m \oplus \overline{b} \\
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&c - b = am &&c \oplus (\overline{-b}) = \overline{a} \otimes m \\
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&\frac{c - b}{a} = m &&\overline{a}^{-1} \otimes (c \oplus (\overline{-b})) = m
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\end{align*}
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\begin{equation*}
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m = \overline{a}^{-1} \otimes c \oplus (\overline{a}^{-1} \otimes (\overline{-b}))
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\end{equation*}
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\begin{equation*}
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k_c : (\overline{a}, \overline{b}), \overline{a} \text{ inversible}
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\end{equation*}
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\begin{equation*}
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||||
k_d : (\overline{a}^{-1}, \overline{a}^{-1} \otimes (\overline{-b}))
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\end{equation*}
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\end{document}
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