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@@ -227,7 +227,7 @@
 
             \item Solution particulière
 
-                Second membre~: $(x + 3)e^{\alpha x}$ avec $\alpha = 2$ $\implies \alpha$ racine de l'équation caractéristique.
+                second membre~: $(x + 3)e^{\alpha x}$ avec $\alpha = 2$ $\implies \alpha$ racine de l'équation caractéristique.
                 \begin{align*}
                     &\left\{
                     \begin{array}{l}
@@ -282,6 +282,76 @@
     \paragraph{$(E_6)$}
         $y'' - y = x^3$
 
+        \begin{enumerate}[label=\alph*)]
+
+            \item Solution homogène
+                \begin{align*}
+                    r^2 - 1 = 0
+                    \implies \Delta = 4
+                    \implies
+                    \left\{
+                    \begin{array}{l}
+                        r_1 = \frac{0 - 2}{2} = -1 \\\\
+                        r_2 = \frac{0 + 2}{2} = 1 \\
+                    \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \begin{align*}
+                    \implies
+                    y_0 = \lambda e^{-x} + \mu e^{x}
+                \end{align*}
+
+            \item Solution particulière
+
+                second membre~: $x^3e^{\alpha x}$ avec $\alpha = 0$ $\implies \alpha$ non racine de l'équation caractéristique.
+                \begin{align*}
+                    &\left\{
+                    \begin{array}{l}
+                        y_1 = ax^3 + bx^2 + cx + d \\
+                        y_1' = 3ax^2 + 2bx + c \\
+                        y_1'' = 6ax + 2b \\
+                    \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+
+                Dans $(E_6)$~:
+
+                $6ax + 2b - ax^3 - bx^2 - cx - d = x^3$
+                \begin{align*}
+                    \implies
+                    -ax^3 - bx^2 + 6ax - cx + 2b - d = x^3
+                    \implies
+                    \left\{
+                    \begin{array}{l}
+                        -a = 1 \\
+                        -b = 0 \\
+                        6a - c = 0 \\
+                        2b - d = 0 \\
+                    \end{array}
+                    \right.
+                    \implies
+                    \left\{
+                    \begin{array}{l}
+                        a = -1 \\
+                        b = 0 \\
+                        c = -6 \\
+                        d = 0 \\
+                    \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \begin{align*}
+                    \implies
+                    y_1 = -x^3 - 6x
+                \end{align*}
+
+            \item Solution générale
+                \begin{equation*}
+                    y = y_0 + y_1 = \boxed{\lambda e^{-x} + \mu e^{x} - x^3 - 6x}
+                \end{equation*}
+
+
+        \end{enumerate}
+
     \paragraph{$(E_7)$}
         $y'' + y = \cos{x}$