Finish cours produit de convolution

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     \subsection{Interprétation physique}
 
-        \begin{center}
+        \hfill
         \begin{tikzpicture}
             \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
             \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
             \draw[thick, orange,smooth]
                 (0,0) -- (0,3)
-                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
+                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                 ;
             \draw[thick, teal]
-                (0,0) -- (0,1.5) node[left]{$y(\tau)$}
+                (0,0) -- (0,1.5)
                 plot[domain=0:1]({\x}, {1.5})
                 (1,1.5) -- (1,0)
                 ;
             \node at (0,-0.3) {0};
             \node at (1,-0.3) {$T$};
+            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
+            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
         \end{tikzpicture}
+        \hfill
         \begin{tikzpicture}
             \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
             \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
             \draw[thick, orange,smooth]
                 (0,0) -- (0,3)
-                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
+                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                 ;
             \draw[thick, teal]
-                (-1.5,0) -- (-1.5,1.5) node[above]{$y(t - \tau)$}
+                (-1.5,0) -- (-1.5,1.5)
                 plot[domain=-1.5:-0.5]({\x}, {1.5})
                 (-0.5,1.5) -- (-0.5,0)
                 ;
             \node at (-1.5,-0.3) {$t-T$};
             \node at (-0.5,-0.3) {$t$};
+            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
+            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
         \end{tikzpicture}
+        \hfill
 
+        \hfill
         \begin{tikzpicture}
             \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
             \fill [red!30,domain=0:0.5,variable=\x]
-                (0,0)
+                (0,0) -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) -- (0.5,0) -- cycle
-                -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
-                node[above right,red] {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$}
-                -- (0.5,0)
-                -- cycle;
                 ;
             \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
             \draw[thick, orange,smooth]
                 (0,0) -- (0,3)
-                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
+                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                 ;
             \draw[thick, teal]
-                (-0.5,0) -- (-0.5,1.5) node[left]{$y(t - \tau)$}
+                (-0.5,0) -- (-0.5,1.5)
                 plot[domain=-0.5:0.5]({\x}, {1.5})
                 (0.5,1.5) -- (0.5,0)
                 ;
             \node at (-0.5,-0.3) {$t-T$};
             \node at (0.5,-0.3) {$t$};
-
+            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
+            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
+            \node[red,anchor=east] at (5,1.5) {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$};
         \end{tikzpicture}
+        \hfill
         \begin{tikzpicture}
             \draw[help lines, dashed] (-2,-1) grid (5,3);
             \fill [red!30,domain=0.5:1.5,variable=\x]
-                node[above,red] {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$}
+                (0.5,0) -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) -- (1.5,0) -- cycle
-                (0.5,0)
-                -- plot ({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
-                -- (1.5,0)
-                -- cycle;
                 ;
             \draw[-latex] (-2,0) -- (5,0) node[below]{$\tau$};
             \draw[thick, orange,smooth]
                 (0,0) -- (0,3)
-                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)}) node[above]{$x(\tau)$}
+                plot[domain=0:5]({\x}, {1.5/(0.5+\x)})
                 ;
             \draw[thick, teal]
                 (0.5,0) -- (0.5,1.5)
                 plot[domain=0.5:1.5]({\x}, {1.5})
-                (1.5,1.5)
+                (1.5,1.5) -- (1.5,0)
-                node[right]{$y(t - \tau)$}
-                -- (1.5,0)
                 ;
             \node at (0.5,-0.3) {$t-T$};
             \node at (1.5,-0.3) {$t$};
+            \node[orange,anchor=east] at (5,2.5) {$x(\tau)$};
+            \node[teal,anchor=east] at (5,2) {$y(t - \tau)$};
+            \node[red,anchor=east] at (5,1.5) {$x(\tau) \cdot y(t - \tau)$};
+        \end{tikzpicture}
+        \hfill
 
+    \subsection{Propriétés}
+
+        Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ pour presque tout $t \in \mathbb{R}$.
+
+        \paragraph{Commutativité}
+            \begin{equation*}
+                (f*g)(t) = (g*f)(t)
+            \end{equation*}
+
+        \paragraph{Distributivité}
+            \begin{equation*}
+                (f*(g+h))(t) = (f*g)(t) + (f*h)(t)
+            \end{equation*}
+
+        \paragraph{Associativité}
+            \begin{align*}
+                ((f*g)*h)(t) &= (f*(g*h))(t) \\
+                             &= \int_{\mathbb{R}} (f*g)(t-\tau) h(\tau) \dif \tau \\
+                             &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(t-\tau-\nu) g(\nu) h(\tau) \dif \tau
+            \end{align*}
+
+        \paragraph{Parité}
+
+            Si les fonctions $f$ et $g$ sont paires alors le produit de convolution de $f$ et $g$ est pair.
+
+    \subsection{Produit de convolution et filtrage (SLIT)}
+
+        \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
+            \node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
+            \draw[-latex]++(-3cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$x(t)$} node[below,at start]{entrée};
+            \draw[-latex](r) -- ++(3cm,0) node[above]{$y(t)$} node[below]{sortie};
         \end{tikzpicture}
         \end{center}
 
+        Un filtre peut être défini~:
+        \begin{itemize}
+            \item en fréquence~: $H(j\omega)$ (\emph{fonction de transfert})
+            \item en temps~: $h(t)$ (\emph{réponse impulsionnelle})
+        \end{itemize}
+
+        Pour la réponse impulsionnelle~:
+
+        La sortie $h(t)$ est obtenue lorsqu'en entrée du filtre on applique un \emph{signal impulsionnel}.
+        Ce signal impulsionnel est modélisé par l'\emph{impulsion de Dirac}, $\delta$.
+
+        \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[every text node part/.style={align=center}]
+            \node[rectangle,draw,minimum width=3cm,thick] (r) at (0,0) {$h(t)$ \\ SLIT};
+            \draw[-latex]++(-3cm,0) -- (r.west) node[above,at start]{$x(t) = \delta(t)$};
+            \draw[-latex](r) -- ++(3cm,0) node[above]{$y(t) = h(t)$};
+        \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+
+        On a donc~:
+        \begin{equation*}
+            y(t) = (h*x)(t) = h(t)
+        \end{equation*}
+
+        $\delta$ est l'élément neutre du produit de convolution, de la même façon que 0 est l'élément neutre de l'addition et que 1 est l'élément neutre de la multiplication.
+        \begin{equation*}
+            (f*\delta)(t) = f(t)
+        \end{equation*}
+
+        \paragraph{Retard}
+            \begin{equation*}
+                (f*\delta_{t_0})(t) = f(t - t_0)
+            \end{equation*}
+
+            où $\delta_{t_0}$ est l'impulsion de Dirac retardée de $t_0$~: \quad $\delta_{t_0} = \delta(t - t_0)$.
+
+            \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw[-latex] (-0.5,0) -- (2,0) node[right]{$t$};
+                \draw[-latex] (0,-0.2) -- (0,2) node[above]{$\delta(t-t_0)$};
+                \draw[-latex,thick, red]
+                    (1,0) -- (1,1)
+                    ;
+                \node at (-0.2,-0.3) {0};
+                \node at (1,-0.3) {$t_0$};
+            \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
 \end{document}