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Add exercice 1 for intégrales généralisées

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analyse/exercices/main.tex
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@ -1,4 +1,4 @@
\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
\title{Analyse --- Exercices}
\author{}
@ -516,4 +516,56 @@
\end{enumerate}
\section{Intégrales généralisées}
\subsection{Exercice 1}
Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes.
\paragraph{$(I_1)$}
$\int_1^{+\infty} \frac{2x + x^3}{x^3 + x^4} \,\mathrm{d}x$
\begin{align*}
\forall x \in [1; +\infty[\quad \frac{2x + x^3}{x^3 + x^4} \geq 0 \\\\
\frac{2x + x^3}{x^3 + x^4} = \frac{x^3(\frac{2}{x^2} + 1)}{x^4(\frac{1}{x} + 1)} \sim \frac{x^3}{x^4} \sim \frac{1}{x} \\
\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \text{ diverge donc $I_1$ diverge par équivalence.} \\
\end{align*}
\paragraph{$(I_2)$}
$\int_0^{+\infty} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt[3]{x} + 4} \,\mathrm{d}x$
\begin{align*}
\forall x \in [0; +\infty[\quad \frac{x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt[3]{x} + 4} \geq 0 \\\\
\frac{x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt[3]{x} + 4}
= \frac{x^{1+\frac{1}{2}}}{x^{2+\frac{1}{3}}(1 + \frac{4}{x^{\frac{7}{3}}})}
\sim \frac{x^{1+\frac{1}{2}}}{x^{\frac{7}{3}}}
\sim x^{\frac{3}{2} - \frac{7}{3}}
\sim x^{-\frac{5}{6}}
\sim \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}} \\
\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}\,\mathrm{d}x \text{ diverge donc $I_2$ diverge par équivalence.} \\
\end{align*}
\paragraph{$(I_3)$}
$\int_1^{+\infty} \frac{5x + x^2}{x^3 + x^3\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x$
\begin{align*}
\forall x \in [1; +\infty[\quad \frac{5x + x^2}{x^3 + x^3\sqrt{x}} \geq 0 \\\\
\frac{5x + x^2}{x^3 + x^3\sqrt{x}}
= \frac{x^2(\frac{5x}{x^2} + 1)}{x^3\sqrt{x}(\frac{1}{\sqrt{x}} + 1)}
= \frac{x^2(\frac{5}{x} + 1)}{x^{3 + \frac{1}{2}}(\frac{1}{\sqrt{x}} + 1)}
\sim \frac{x^2}{x^{\frac{7}{2}}}
\sim \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \\
\text{Or } \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\,\mathrm{d}x \text{ converge donc $I_3$ converge par équivalence.} \\
\end{align*}
\paragraph{$(I_4)$}
$\int_0^{+\infty} \frac{x \sqrt[3]{x}}{x^2\sqrt{x} + 5} e^{-x} \,\mathrm{d}x$
\begin{align*}
\forall x \in [0; +\infty[ \quad \frac{x \sqrt[3]{x}}{x^2\sqrt{x} + 5} e^{-x} \geq 0 \\\\
\frac{x \sqrt[3]{x}}{x^2\sqrt{x} + 5} e^{-x}
= \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^2\sqrt{x}(1 + \frac{5}{x^2\sqrt{x}})} e^{-x}
\sim \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{5}{2}}} e^{-x}
\sim x^{\frac{-7}{6}} e^{-x}
\sim \frac{1}{x^{\frac{7}{6}}} e^{-x} \\
\text{Or } \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{7}{6}}} e^{-x}\,\mathrm{d}x \text{ converge (l'exponentielle l'emporte) donc $I_4$ converge par équivalence.} \\
(\sim e^{-kx} \text{ avec } k = 1 > 0)
\end{align*}
\end{document}