Write intégrales généralisées

analyse/main.tex

@@ -565,7 +565,60 @@
               &\implies I \text{ est convergente et } I = 1
         \end{align*}
 
-    \subsection{Intégrales de référence}
+    \subsection{Intégrales de référence avec une borne $a > 0$}
+
+        \begin{align*}
+            \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}}\,\mathrm{d}x \quad
+            &\left\{
+            \begin{array}{l}
+                \text{converge si } \alpha > 1 \\
+                \text{diverge si } \alpha \leq 1 \\
+            \end{array}
+            \right. \\
+            \int_a^{+\infty} e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x \quad
+            &\left\{
+            \begin{array}{l}
+                \text{converge si } \alpha > 0 \\
+                \text{diverge si } \alpha \leq 0 \\
+            \end{array}
+            \right. \\
+            \int_a^{+\infty} x^n e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x \quad
+            &\left\{
+            \begin{array}{l}
+                \text{converge si } \alpha > 0 \\
+                \text{diverge si } \alpha < 0 \\
+            \end{array}
+            \right.
+            \quad \text{(on dit que l'exponentielle l'emporte)} \\
+            \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha(\ln{x})^{\beta}} \,\mathrm{d}x \quad
+            &\left\{
+            \begin{array}{l}
+                \text{converge si } (\alpha > 1) \text{ ou } (\alpha = 1 \text{ et } \beta > 1) \\
+                \text{diverge si } (\alpha = 1 \text{ et } \beta \leq 1) \text{ ou } (\alpha < 1) \\
+            \end{array}
+            \right.
+        \end{align*}
+
+    \subsection{Majoration et minoration d'intégrales pour les fonctions positives}
+
+        Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ et $0 \leq g(x) \leq f(x)$, alors~:
+
+        \begin{align*}
+            \int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge } &\implies \int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x \text{ converge aussi} \quad &\color{blue}{(1)} \\
+            \int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge } &\implies \int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \text{ diverge aussi} \quad &\color{blue}{(2)} \\
+        \end{align*}
+
+        \textcolor{blue}{(1)} permet de montrer la convergence de $-\int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x$ par majoration.
+
+        \textcolor{blue}{(2)} permet de montrer la divergence de $-\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ par minoration.
+
+    \subsection{Équivalents pour les fonctions positives}
+
+        Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ avec $f(x) \geq 0$ et $g(x) \geq 0$.
+
+        Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x \rightarrow +\infty$, alors $\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x$ converge $\iff \int_a^{+\infty} g(x)\,\mathrm{d}x$ converge.
+
+        On peut aussi dire que $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow +\infty$.
 
 \clearpage
 \section{Séries de Fourier}