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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\title{Théorie du signal}
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\author{}
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\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}
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\usepackage{../cours}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\clearpage
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\section{Présentation}
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Un signal est la représentation d'une information ou d'un message.
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Dans ce cours, tous les signaux seront \emph{déterministes}~: ils peuvent être représentés par une fonction mathématique.
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Si la fréquence d'un signal est nulle, la fonction associée vaudra une constante.
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La variation du signal en fonction du temps est donc dûe à la fréquence.
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$f = 0 \implies$ fonction constante.
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Pour rendre exploitable un signal, on applique des opérations (\emph{traitement du signal})~:
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\begin{itemize}
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\item Amplification
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\item Filtrage
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\item Modulation
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\item Numérisation
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\end{itemize}
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La nature d'un signal peut être électrique, acoustique, optique\ldots
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Un signal peut évoluer en fonction du temps ou de l'espace (vidéo).
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Ici nous ne prendrons en compte que les signaux à une dimension.
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Le bruit est tout ce qui n'est pas porteur d'information.
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\section{Classification des signaux}
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\subsection{Déterministe / aléatoire}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Déterministe} ---
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Décrit en par une fonction mathématique $x(t)$.
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Il est donc \emph{prédictif}~: sa valeur est connue pour toute valeur de $t$.
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\item \textbf{Aléatoire} ---
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Décrit par des propriétés statistiques (probabilité, espérance mathématique, variande\ldots).
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Il n'est donc pas \emph{prédictif}~: on ne peut pas connaître sa valeur à un instant $t$.
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\end{itemize}
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\subsection{Puissance moyenne finie / énergie finie}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Signaux à énergie finie}
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$E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \dif t < \infty$
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Ils sont à \emph{puissance moyenne nulle}.
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On y trouve les signaux continus à \emph{support borné}.
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\item \textbf{Signaux à puissance moyenne finie}
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$P = \lim\limits_{T_0 \to \infty} \int_{-T_0/2}^{+T_0/2} |x(t)|^2 \dif t$, où $T_0$ est la période.
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Ils sont à \emph{énergie infinie}.
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On y trouve les signaux périodiques.
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Les calculs se font sur une période.
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\end{itemize}
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\subsection{Analogique / discret (échantillonné, quantifié, numérique)}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Analogique --- Continu}
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Un signal analogique est continu.
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Son évolution est décrite par la variable continue $t \in \mathbb{R}$.
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\item \textbf{Discret}
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Son évolution est décrite par une variable discrète $n \in \mathbb{Z}$.
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Cette variable discrète est appelée \emph{échantillon}.
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\end{itemize}
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\begin{tabular}{l|ll}
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\toprule
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A / t & continu & discret \\
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\midrule
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continu & analogique & échantillonné \\
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discret & quantifié & numérique \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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Un signal \emph{échantillonné} est discret en \emph{temps}.
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Un signal \emph{quantifié} est discret en \emph{amplitude}.
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|
En réalité le signal quantifié n'existe pas (il ne peut être que continu par morceaux dans ce cas).
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\subsubsection{Signaux continus usuels}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Échelon unitaire} ou Heaviside
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\begin{align*}
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u(t) =
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\left\{
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\begin{array}{l}
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1 \,\forall \, t \geq 0 \\
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0 \,\forall \, t < 0 \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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C'est un signal \emph{causal} (nul pour tout $t < 0$).
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Il n'est pas à support borné, il n'est pas périodique.
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Il n'est ni à puissance moyenne finie, ni à énergie finie.
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\item \textbf{Signal porte} ou signal rectangle
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\begin{align*}
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x(t) =
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\left\{
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\begin{array}{l}
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A \text{ si } t \in [T_1;T_2] \\
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0 \text{ sinon} \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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Il est à \emph{support borné} et à \emph{énergie finie}.
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\item \textbf{Exponentielle amortie}
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\begin{align*}
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x(t) = e^{-\alpha|t|} \quad \forall t \in \mathbb{R}
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\end{align*}
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Il faut que $\alpha$ soit positif (sinon $x(t)$ diverge).
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\item \textbf{Exponentielle amortie et causale}
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\begin{align*}
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x(t) =
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\left\{
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\begin{array}{l}
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e^{-\alpha t} \forall t \geq 0 \\
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0 \forall t < 0 \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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\item \textbf{Signal carré} de \emph{rapport cyclique} $r$
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\begin{align*}
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x(t) =
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\left\{
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\begin{array}{l}
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0 \forall t \in [0; (1 - r)T_0] \\
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A \forall t \in [] \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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\item \textbf{Signal sinusoïdal}
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$\cos(2\pi f_0 t) = \sin(2\pi f_0 t + \frac{\pi}{2})$
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Il y a un \emph{déphasage} $\varphi$ constant de $\frac{\pi}{2}$.
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\begin{align*}
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&\varphi = 2\pi\frac{\Delta t}{T_0} [\text{rad}]
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&\varphi = 360\frac{\Delta t}{T_0} [\text{degré}]
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\end{align*}
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Rappels~:
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\begin{itemize}
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\item Formule d'Euler~:
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\begin{align*}
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\cos(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2} \\
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\sin(2\pi f_0 t) = \frac{e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}}{2j} \\
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\end{align*}
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\item Parité~:
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$x$ est paire si $x(-t) = x(t)$ \\
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$x$ est impaire si $x(-t) = -x(t)$ \\
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\end{itemize}
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\item \textbf{Sinus cardinal}
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\begin{align*}
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\mathrm{sinc}(t) =
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\left\{
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\begin{array}{l}
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... \\
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... \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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\end{itemize}
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\subsubsection{Le bruit, signal \emph{aléatoire}}
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\paragraph{Rapport Signal sur Bruit (RSB)}
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Critère qui permet de quantifier le signal par rapport au bruit présent.
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\begin{equation*}
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\text{RSB} = \frac{P_S}{P_B}
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\end{equation*}
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\subsection{Signaux élémentaires}
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\subsection{Impulsion ou distribution de Dirac, $\delta$}
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Ce n'est pas un signal réel.
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C'est un objet mathématique qui sert à modéliser certains phénnomènes.
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\begin{align*}
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\delta(t) =
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\left\{
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\begin{array}{l}
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+\infty \text{ pour } t = 0 \\
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0 \text{ pour } t \neq 0 \\
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\end{array}
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\right.
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\end{align*}
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Propriétés~:
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\begin{align*}
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&\int_{\mathbb{R}} \delta(t) \dif t = 1
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\quad\text{peut être vu comme la dérivée de l'échelon unitaire} \\
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&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t) \dif t = x(0) \\
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&\int_{\mathbb{R}} x(t)\delta(t - t_0) \dif t = x(t_0) \\
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\end{align*}
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\section{Analyse fréquentielle}
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\subsection{Introduction}
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L'analyse de Fourier permet de déterminer la fonction du signal temporel dans le domaine fréquentiel.
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\begin{equation*}
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x(t) \rightarrow X(f)
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\end{equation*}
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\subsection{Décomposition en Série de Fourier (DSF)}
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Tout signal $x:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $T_0$-périodique, continu ou continu par morceaux, intégrable une fois dans $\mathbb{R}$ (conditions de Dirichlet), peut se décomposer en une somme de sinus et de cosinus.
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\subsubsection{Forme réelle}
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\begin{align*}
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x(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)] \\
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x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]
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\end{align*}
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\begin{itemize}
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\item $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de Fourier réels
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\item $\omega_0 = 2\pi f_0$ [rad/s] est la pulsation fondamentale de $x(t)$
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% TODO: finish
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\end{itemize}
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Expression des coefficients de Fourier réels~:
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\begin{align*}
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a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} \cos(n\omega_0 t) \dif t \\
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a_n = \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \cos(n\omega_0 t) \dif t \\
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b_n = \frac{2}{T_0} \int_{(T_0)} \sin(n\omega_0 t) \dif t
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\end{align*}
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\subsubsection{Forme directe (complexe)}
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À savoir~: $e^{j\theta} = \cos(\theta) + \sin(j\theta)$
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\begin{align*}
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%TODO: remplace par la bonne formule
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x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
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x(t) = \sum_{n=-\infty}^{-1} c_n e^{jn\omega_0 t} + c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \\
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|
x(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}] \\
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\end{align*}
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\begin{itemize}
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\item $c_n$ et $c_{-n}$ sont les coefficients de Fourier complexes
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% TODO: finish
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\end{itemize}
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\subsubsection{Correspondance entre les coefficients de Fourier réels et complexes}
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Par identification on % TODO: finish
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\subsubsection{Théorême de Parseval}
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\begin{equation*}
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\frac{1}{T_0} \int_{(T_0)} |x(t)|^2 \dif t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2
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\end{equation*}
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|
$\implies$ même quantité de puissance/signal en temps qu'en fréquence.
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\subsection{Transformée de Fourier (TF)}
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\subsection{Représentation d'un signal dans le domaine fréquentiel}
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\end{document}
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