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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Optimisation et complexité --- Exercices}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

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\begin{document}

\maketitle

\section{Exercice 1}

    On considère le programme linéaire suivant~:

    \begin{align*}
        \text{Max}Z = 6x_1 + 7x_2 + 8x_3 \\
        \left\{
        \begin{array}{l}
            x_1 + 2x_2 + x_3 \leq 100 \\
            3x_1 + 4x_2 + 2x_3 \leq 120 \\
            2x_1 + 6x_2 + 4x_3 \leq 20 \\
            x_1, x_2, x_3 \geq 0 \\
        \end{array}
        \right.
    \end{align*}

    \begin{enumerate}

        \item Mettre le programme sous la forme standard.
            \begin{align*}
                x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 &= 100 \\
                3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + x_5 &= 120 \\
                2x_1 + 6x_2 + 4x_3 + x_6 &= 20 \\
                x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 &\geq 0
            \end{align*}

        \item Déterminer la première solution réalisable de base (de départ), en précisant les variables de base hors base, puis tracer le tableau simplexe initial.
            \begin{align*}
                A =
                \begin{pmatrix}
                    1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
                    3 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
                    2 & 6 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
                \end{pmatrix}
                \quad
                B =
                \begin{pmatrix}
                    100 \\
                    120 \\
                    20 \\
                \end{pmatrix}
                \quad
                C =
                \begin{pmatrix}
                    6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0
                \end{pmatrix}
            \end{align*}
            \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
                \hline
                Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
                $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ \\
                \hline
                0 & $x_4$ & 100 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
                0 & $x_5$ & 120 & 3 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
                0 & $x_6$ & 20 & 2 & 6 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
                \hline
                \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
                \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
            \end{tabularx}
            \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
                \hline
                Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
                $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ \\
                \hline
                0 & $x_4$ & 95 & $\sfrac{1}{2}$ & $\sfrac{1}{2}$ & 0 & 1 & 0 & $\sfrac{-1}{4}$ \\
                0 & $x_5$ & 110 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & $\sfrac{-1}{2}$ \\
                8 & $x_3$ & 5 & $\sfrac{1}{2}$ & $\sfrac{3}{2}$ & 1 & 0 & 0 & $\sfrac{1}{4}$ \\
                \hline
                \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 40 & 4 & 12 & 8 & 0 & 0 & 2 \\
                \hline
                \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
                \hline
            \end{tabularx}
            \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
                \hline
                Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 6 & 7 & 8 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
                $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ & $x_6$ \\
                \hline
                0 & $x_4$ & 90 & 0 & $\sfrac{1}{4}$ & -1 & 1 & 0 & $\sfrac{-1}{2}$ \\
                0 & $x_5$ & 90 & 0 & -5 & -1 & 0 & 1 & $\sfrac{-3}{4}$ \\
                6 & $x_1$ & 10 & 1 & 3 & 2 & 0 & 0 & $\sfrac{1}{2}$ \\
                \hline
                \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 60 & 6 & 18 & 12 & 0 & 0 & 3 \\
                \hline
                \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 0 & -11 & -4 & 0 & 0 & -3 \\
                \hline
            \end{tabularx}

    \end{enumerate}

\section{Exercice 3}

    On considère le programme linéaire suivant~:

    \begin{align*}
        \text{Max}Z = x_1 - x_2 \\
        \left\{
        \begin{array}{l}
            2x_1 + x_2 \leq -4 \\
            x_1 - x_2 \leq 4 \\
            x_1 + x_2 \leq 10 \\
            x_1, x_2 \geq 0 \\
        \end{array}
        \right.
    \end{align*}

    \begin{itemize}

        \item Résoudre le programme par la méthode du simplexe, et déduire la solution optimale $S_1$.
            \begin{align*}
                \left\{
                \begin{array}{l}
                    -2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\
                    x_1 - x_2 + x_4 = 4 \\
                    x_1 + x_2 + x_5 = 10 \\
                    x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \\
                \end{array}
                \right.
            \end{align*}
            \begin{tabularx}{\linewidth}{|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|Y|}
                \hline
                Max & \multicolumn{2}{|c|}{$C_i$} & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
                $C_B$ & B & b & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & $x_4$ & $x_5$ \\
                \hline
                0 & $x_4$ & 4 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
                0 & $x_5$ & 4 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
                0 & $x_6$ & 10 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
                \hline
                \multicolumn{2}{|c|}{$Z_i$} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
                \multicolumn{3}{|c|}{$C_i - Z_i$} & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
                \hline
            \end{tabularx}

    \end{itemize}

\end{document}