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\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}

\title{Communications Numériques --- TD1\\Expressions spectrales des codes numériques}
\author{}
\date{Dernière compilation~: \today{} à \currenttime}

\usepackage{styles}

\begin{document}

\maketitle

\section{Codage NRZ}

    Afin de réaliser une communication numérique sur un câble de transmission par voie électrique, on considère une suite numérique binaire $\{d_k\} = \{0,1\}$ aléatoire à valeurs equiprobables cadencée par une horloge de période T.
    On applique à cette information un codage \emph{trivial} consistant à associer la valeur \texttt{-V} à l'état binaire 0 et la valeur \texttt{+V} à l'état binaire 1.
    Ce code se nomme NRZ (Non Return to Zero).

    \begin{enumerate}

        \item \emph{%
            Représenter un tel signal en fonction du temps~; on le nommera $x_1(t)$.
            Que peut-on déjà en tirer comme propriétés (au sens de la fonction du temps)~?
        }

        \begin{multicols}{2}

            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=1,baseline=(current bounding box.center)]
                \draw[-latex] (0,0) -- (5.5,0);
                \draw[-latex] (0,-1.4) -- (0,1.6);
                \node[red] at (-0.3,-1) {\texttt{-V}};
                \node[red] at (-0.3,1) {\texttt{+V}};
                \foreach \i in {0,1,3}{\node at (\i+0.5,1.5) {0};}
                \foreach \i in {2,4}{\node at (\i+0.5,1.5) {1};}
                \draw[red,thick] (0,-1) -- (2,-1) -- (2,1) -- (3,1) -- (3,-1) -- (4,-1) -- (4,1) -- (5,1);
            \end{tikzpicture}
            \end{center}

            La valeur moyenne est nulle~:

            \(\overline{a} = \sum a_k p(a_k) = (-V) \times \frac{1}{2} + (+V) \times \frac{1}{2} = 0\)

        \end{multicols}

        \item \emph{%
            Afin d'évaluer la bande passante spectrale nécessaire à prévoir (ou à réserver) sur le câble, on cherche à exprimer le spectre d'un tel signal numérique.
        }

        \begin{enumerate}

            \item \emph{%
                Donner d'abord l'expression du formant de ce code (c'est-à-dire la fonction $g(t)$) ainsi que les valeurs des $a_k$ qui permettent d'exprimer le signal numérique $x(t)$ sous la forme $x_1(t) = \sum a_k g(t-kT)$.
            }

            \begin{equation*}
                x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k g(t-kT) = g(t) * \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \delta(t-kT)
            \end{equation*}

            $g(t)$ est une fonction porte, centrée en 0.

            \item \emph{%
                Rechercher l'expression du spectre $G(f)$ de cette fonction $g(t)$ et de la densité spectrale de puissance associée~: $S_{gg}(f) = |G(f)|^2$.
            }

            \begin{equation*}
                |G(f)|^2 = |\mathrm{TF}(g(t))|^2
            \end{equation*}

            \begin{align*}
                \implies \mathrm{TF}(g(t)) &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} g(t) e^{-j2\pi ft} \dif t \\
                                           &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1 \cdot e^{-j2\pi ft} \dif t \\
                                           &= \left[-\frac{e^{-j2\pi ft}}{j2\pi f}\right]_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}
                                            = -\frac{e^{-j2\pi f \frac{T}{2}}}{j2\pi f}
                                              +\frac{e^{-j2\pi f \frac{-T}{2}}}{j2\pi f}
                                            = \frac{e^{j\pi fT} - e^{-j\pi fT}}{j2\pi f} \\
                                           &= T \frac{\sin (\pi fT)}{\pi fT}
                                            = T \mathrm{sinc}(fT)
            \end{align*}
            \begin{equation*}
                \text{Donc } S_{gg}(f) = T^2\mathrm{sinc}^2(fT)
            \end{equation*}

            \item \emph{%
                Grâce à la formule de Bennett, exprimer la densité spectrale de puissance $S_{1xx}(f)$ associée au signal numérique $x_1(t)$ et la représenter.
            }

            \begin{equation*}
                S_{1xx}(f) = S_{gg}(f)\left[
                    \frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \Sh\left(\frac{f}{\sfrac{1}{T}}\right) + \frac{2}{T}
                    \sum_{n=1}^{+\infty} (R_{aa}(n) - \overline{a}^2) \cos(2\pi nfT)
                \right]
            \end{equation*}

            \begin{itemize}
                \item $\overline{a} = E(a_k) = \sum a_k P(a_k) = a_0 P(a_0) + a_1 P(a_1) = -V \frac{1}{2} + V \frac{1}{2} = 0$
                \item $\sigma_a^2 = E(a_k^2) - \overline{a}^2 = (-V)^2 \frac{1}{2} + V^2 \frac{1}{2} - 0^2 = V^2$
                \item $R_{aa}(n) = E(a_k a_{k+n}) = E(a_k)\cdot E(a_{k+n}) = 0$
            \end{itemize}

            \begin{equation*}
                S_{1xx}(f) = T^2\mathrm{sinc}^2(fT) \cdot \frac{V^2}{T} = V^2 T \mathrm{sinc}^2(fT)
            \end{equation*}

            \item \emph{%
                Que peut-on en déduire relativement à la bande passante nécessaire~?
                Quelle sera donc l'opération indispensable à réaliser~?
            }

        \end{enumerate}

    \end{enumerate}

\clearpage

\section{Codage 2B1Q --- NRZ}

    Dans le même contexte que précédemment, et avec la même source numérique binaire d'information, on a l'idée de réaliser le même type de codage, mais appliqué, non pas à chaque symbole, mais à chaque doublet de symboles.

    Ici, $2^2 = 4^1$, et le message est 1010110001.

    \begin{enumerate}

        \item \emph{%
            Définir un exemple de choix de valeurs $b_k$.
            Représenter à nouveau un tel signal $x_2(t)$ en fonction du temps~: $x_2(t) = \sum b_k g(t-kT)$
        }

            \[
            \begin{array}{ll}
                00~: & -2V \\
                01~: & -1V \\
                10~: & +1V \\
                11~: & +2V \\
            \end{array}
            \quad D = \frac{1}{T}
            \]

            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=1, transform shape]
                \draw[-latex] (-1,0) -- (10,0);
                \draw[-latex] (0,-3) -- (0,3);
                \foreach \i in {-2,-1,1,2}{
                    \draw[dashed] (0,\i) -- (10,\i) node[at start,left]{\i V};
                }
                \node at (1,-0.2) {\small T};
                \foreach \i in {2,3,...,9}{
                    \node at (\i,-0.2) {\small \i T};
                }
                \node[red] at (1,2.5) {10};
                \node[red] at (3,2.5) {10};
                \node[red] at (5,2.5) {11};
                \node[red] at (7,2.5) {00};
                \node[red] at (9,2.5) {01};
                \draw[red,thick] (0,1) -- (4,1) -- (4,2) -- (6,2) -- (6,-2) -- (8,-2) -- (8,-1) -- (10,-1);
            \end{tikzpicture}
            \end{center}

        \item \emph{Exprimer la nouvelle densité spectrale de puissance $S_{2xx}(f)$ et la comparer à la précédente.}

            Le formant $g(t)$ est un signal porte sur $\{-T,T\}$.

            \begin{align*}
                S_{gg}(f) = |G(f)|^2 &= \left(\int_{-T}^{T} 1 \cdot e^{-j2\pi ft} \dif t\right)^2 \\
                                     &= 4T^2\mathrm{sinc}^2(2ft)
            \end{align*}
            \begin{equation*}
                S_{2xx}(f) = S_{gg}(f)\left[
                    \frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \Sh\left(\frac{f}{\sfrac{1}{T}}\right) + \frac{2}{T}
                    \sum_{n=1}^{+\infty} (R_{aa}(n) - \overline{a}^2) \cos(2\pi nfT)
                \right]
            \end{equation*}

            \begin{itemize}

                \item $\overline{a} = E(a_k) = (-2V)\frac{1}{4} + (-1V)\frac{1}{4} + 1V\frac{1}{4} + 2V\frac{1}{4} = 0$

                \item $\sigma_a^2 = E(a_k^2) - \overline{a}^2 = \frac{4V^2 + 1V^2 + 1V^2 + 4V^2}{4} - 0 = \frac{5V^2}{2}$

                \item $R_{aa}(n) = E(a_k a_{k+n}) = E(a_k) E(a_{k+n}) = 0$

            \end{itemize}

            \begin{align*}
                S_{2xx}(f) &= 4T^2\mathrm{sinc}^2(2ft)\frac{5V^2}{2T} \\
                           &= 10V^2T\mathrm{sinc}^2(2ft) \\
            \end{align*}

        \item \emph{Que peut-on en déduire et quel est l'intérêt d'un tel codage~?}

            La densité spectrale est plus grande, et la rapidité de modulation est donc réduite.
            On envoie donc plus de symboles sur la même unité de temps.

        \item \emph{Pourrait-on étendre ce principe à un codage appliqué sur un grand nombre de symboles consécutifs~?}

            Si le nombre de symboles est trop élevé, on ferait face à l'interférence inter-symboles.
            De plus, le bruit rend d'autant plus compliqué de différencier les symboles entre-eux quand ils sont proches.

    \end{enumerate}

\clearpage

\section{AMI/NRZ trivalent polaire}

    Le code AMI est défni par \(
        \left\{
        \begin{array}{l}
            0 \rightarrow 0 \\
            1 \rightarrow \pm V \text{ alternativement} \\
        \end{array}
        \right.
    \)

    Le message est 11010011.

    \begin{enumerate}

        \item \emph{%
            Représenter un tel signal en fonction du temps~; on le nommera $x_3(t)$.
            Que peut-on déjà en tirer comme propriétés (au sens de la fonction du temps)~?
        }

            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=1,baseline=(current bounding box.center)]
                \draw[-latex] (0,0) -- (8.5,0);
                \draw[-latex] (0,-1.4) -- (0,1.6);
                \node[red] at (-0.3,-1) {\texttt{-V}};
                \node[red] at (-0.3,1) {\texttt{+V}};
                \foreach \i in {2,4,5}{\node at (\i+0.5,1.5) {0};}
                \foreach \i in {0,1,3,6,7}{\node at (\i+0.5,1.5) {1};}
                \draw[red,thick]
                    (0,1) -- (1,1) --
                    (1,-1) -- (2,-1) --
                    (2,0) -- (3,0) --
                    (3,1) -- (4,1) --
                    (4,0) -- (5,0) --
                    (5,0) -- (6,0) --
                    (6,-1) -- (7,-1) --
                    (7,1) -- (8,1)
                    ;
            \end{tikzpicture}
            \end{center}

            La moyenne des valeurs est nulle~:
            \begin{equation*}
                \overline{a} = \sum a_k p(a_k) = (-V)\frac{1}{4} + V\frac{1}{4} + 0\frac{1}{2} = 0
            \end{equation*}

        \item \emph{%
            Afin d'évaluer la bande passante spectrale nécessaire à prévoir (ou à réserver) sur le câble, on cherche à exprimer le spectre d'un tel signal numérique.
        }

        \begin{enumerate}

            \item \emph{%
                Donner d'abord l'expression du formant de ce code (c'est-à-dire la fonction $g(t)$) ainsi que les valeurs des $a_k$ qui permettent d'exprimer le signal numérique $x(t)$ sous la forme $x_3(t) = \sum a_k g(t-kT)$.
            }

            \item \emph{%
                Rechercher l'expression du spectre $G(f)$ de cette fonction $g(t)$ et de la densité spectrale de puissance associée~: $S_{gg}(f) = |G(f)|^2$.
            }
            \begin{align*}
                \mathrm{TF}(g(t)) = T\mathrm{sinc}(fT) \\
                \implies S_{gg}(f) &= |T\mathrm{sinc}(fT)|^2 \\
                                   &= T^2\mathrm{sinc}^2(fT)
            \end{align*}

            \item \emph{%
                Grâce à la formule de Bennett, exprimer la densité spectrale de puissance $S_{3xx}(f)$ associée au signal numérique $x_3(t)$ et la représenter.
                NB, la source est à mémoire~!
            }

            \begin{equation*}
                S_{3xx}(f) = S_{gg}(f)\left[
                    \frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{\overline{a}^2}{T^2} \Sh\left(\frac{f}{\sfrac{1}{T}}\right) + \frac{2}{T}
                    \sum_{n=1}^{+\infty} (R_{aa}(n) - \overline{a}^2) \cos(2\pi nfT)
                \right]
            \end{equation*}

            \begin{itemize}

                \item $\overline{a} = 0$

                \item $\sigma_a^2 = E(a_k^2) - \overline{a}^2 = \frac{V^2}{4} + \frac{V^2}{4} + 0 \frac{1}{2} = \frac{V^2}{2}$

                \item $R_{aa}(n) = E(a_k a_{k+n})$
                    \begin{align*}
                        R_{aa}(1) &= \sum a_k a_{k+1} \cdot p(a_k a_{k+1}) \\
                                  &=
                    \end{align*}

            \end{itemize}

            \item \emph{%
                Quel est l'avantage de ce codage par rapport au codage NRZ~?
            }

        \end{enumerate}

    \end{enumerate}

\end{document}